Question

20．如圖所示，一個底面積為2×10^-2米²、質量是2千克的薄壁柱形容器放在水平桌面中央，容器高0.15米，內盛有0.1米深的水，求：
（1）水對容器底部的壓強；
（2）容器對桌面壓強；
（3）將質量為3千克的物體A輕輕放入水中，若使容器對地面的壓強增加量△p_增大于水對容器底的壓強增加量△p_容的2倍，請求出滿足條件的物體A的密度的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）知道容器內水的深度，根據p=ρgh求出水對容器底部的壓強；
（2）知道容器內水的深度和容器的底面積可求水的體積，根據m=ρV求出水的質量，容器對桌面壓力等于水和容器的重力之和，根據p=$\frac{F}{S}$求出容器對桌面壓強；
（3）將質量為3千克的物體A輕輕放入水中后，分別討論水溢出或不溢出、物體漂浮或沉底時四種情況，根據密度公式和液體壓強公式、體積公式、壓強公式進行分析解答．

解答 解：（1）水對容器底部的壓強：
p_水=ρ_水gh_水=1.0×10³kg/m³×9.8N/kg×0.1m=980Pa；
（2）容器內水的體積：V_水=Sh_水=2×10^-2m²×0.1m=2×10^-3m³，
由ρ=$\frac{m}{V}$可得，水的質量：
m_水=ρ_水V_水=1.0×10³kg/m³×2×10^-3m³=2kg，
容器對桌面的壓力：
F=G=（m_容+m_水）g=（2kg+2kg）×9.8N/kg=39.2N，
容器對桌面壓強：
p=$\frac{F}{S}$=$\frac{39.2N}{2×1{0}^{-2}{m}^{2}}$=1960Pa；
（3）將質量為3千克的物體A輕輕放入水中后，
①若水未溢出且物體A漂浮時，容器對桌面壓力的增加量=水對容器底的增加量相等=G_物，
所以，由p=$\frac{F}{S}$可知，容器對地面的壓強增加量等于水對容器底的壓強增加量，則此種情況不可能；
②若水未溢出且物體A浸沒時，
因物體浸沒時排開液體的體積和自身的體積相等，
所以，V_排=V_A=$\frac{{m}_{A}}{{ρ}_{A}}$，
容器內水的深度變化量：
△h=$\frac{△{V}_{排}}{S}$=$\frac{\frac{{m}_{A}}{{ρ}_{A}}}{S}$=$\frac{{m}_{A}}{{ρ}_{A}S}$，
水對容器底的壓強增加量：
△p_容=ρ_水g△h=ρ_水g$\frac{{m}_{A}}{{ρ}_{A}S}$，
因水平面上物體的壓力和自身的重力相等，
所以，容器對地面的壓強增加量：
△p_增=$\frac{△F}{S}$=$\frac{{m}_{A}g}{S}$，
因容器對地面的壓強增加量△p_增大于水對容器底的壓強增加量△p_容的2倍，
所以，$\frac{{m}_{A}g}{S}$＞2ρ_水g$\frac{{m}_{A}}{{ρ}_{A}S}$，
則ρ_A＞2ρ_水=2×1.0×10³kg/m³=2.0×10³kg/m³；
③若水溢出且物體A漂浮時，容器對桌面壓力的增加量=容器內水的增加量=G_物-G_溢水，
所以，由p=$\frac{F}{S}$可知，容器對地面的壓強增加量等于水對容器底的壓強增加量，則此種情況不可能；
④若水溢出且物體A浸沒時，物體排開水的體積為V_排=V_A=$\frac{{m}_{A}}{{ρ}_{A}}$，
則溢出水的體積：
V_溢水=V_排-S△h=$\frac{{m}_{A}}{{ρ}_{A}}$-S△h，
溢出水的質量：
m_溢水=ρ_水V_溢水=ρ_水（$\frac{{m}_{A}}{{ρ}_{A}}$-S△h）=$\frac{{ρ}_{水}{m}_{A}}{{ρ}_{A}}$-ρ_水S△h，
容器對地面的壓強的增加量：
△p_增=$\frac{△F}{S}$=$\frac{（{m}_{A}-{m}_{溢水}）g}{S}$=$\frac{{[m}_{A}-（\frac{{ρ}_{水}{m}_{A}}{{ρ}_{A}}-{ρ}_{水}S△h）]g}{S}$，
因容器對地面的壓強增加量△p_增大于水對容器底的壓強增加量△p_容的2倍，
所以，$\frac{{[m}_{A}-（\frac{{ρ}_{水}{m}_{A}}{{ρ}_{A}}-{ρ}_{水}S△h）]g}{S}$＞2ρ_水g△h，
整理可得：
ρ_A＞$\frac{{m}_{A}}{{m}_{A}-{ρ}_{水}S△h}$ρ_水=$\frac{3kg}{3kg-1.0×1{0}^{3}kg/{m}^{3}×2×1{0}^{-2}{m}^{2}×0.05m}$×1.0×10³kg/m³=1.5×10³kg/m³，
綜上可知，滿足條件的物體A的密度的取值范圍為ρ_A＞1.5×10³kg/m³．
答：（1）水對容器底部的壓強為980Pa；
（2）容器對桌面壓強為1960Pa；
（3）物體A的密度的取值范圍為ρ_A＞1.5×10³kg/m³．

點評 本題考查了液體壓強公式和固體壓強公式、物體浮沉條件、阿基米德原理的應用，討論出符合要求A的狀態是關鍵．