Question

17．如圖甲，水平地面上有一底面積為400cm²，重為2N的圓柱形容器（容器重和容器壁厚度不計），容器內盛有20cm深的水，一個量程選擇合適的彈簧測力計下端用細線掛著一個邊長為10cm的不吸水的正方體物塊緩慢放入水中，物塊的上表面與水面剛好相平，此時測力計示數為10N，如圖乙．已知在一定范圍內，彈簧受到的拉力每減少1N，彈簧的長度就縮短0.6cm．（g=10N/kg） 求：
（1）圖甲中水對容器底部的壓強是多少？
（2）物體的密度是多少？
（3）圖乙中從容器內向外緩慢抽水，直至物塊有一半浸在水中，此時容器對桌面的壓強？

Answer 1

分析 （1）已知甲中水的深度，根據p=ρgh求出水對容器底部的壓強；
（2）物塊的上表面與水面剛好相平時排開水的體積和其體積相等，根據阿基米德原理求出物塊受到水的浮力，根據F_浮=G-F′求出物體的重力，根據ρ=$\frac{m}{V}$=$\frac{G}{gV}$求出物體的密度；
（3）水的體積加上物體排開水的體積然后除以容器的底面積即為圖乙容器內水的深度，根據阿基米德原理求出物塊有一半浸在水中時受到的浮力，根據F_浮=G-F′可知此時彈簧測力計的示數，進一步得出彈簧的拉力增加了量，根據題意求出彈簧的伸長量即物體下降的高度，進一步求出剩余部分水的深度以及剩余部分水的體積，根據m=ρV求出剩余的水的質量，根據G=mg求出剩余的水的重力，物塊受到水的浮力和物塊對水的壓力是一對相互作用力，二力大小相等，則容器對桌面的壓力等于容器和水的重力加上物體受到的浮力，根據p=$\frac{F}{S}$求出容器對桌面的壓強．

解答 解：（1）圖甲中水對容器底部的壓強：
p_甲=ρ_水gh_甲=1.0×10³kg/m³×10N/kg×0.2m=2000Pa；
（2）物塊的上表面與水面剛好相平時排開水的體積：
V_排=V=L³=（10cm）³=1000cm³=0.001m³，
物塊受到水的浮力：
F_浮=ρ_水gV_排=1.0×10³kg/m³×10N/kg×0.001m³=10N，
由F_浮=G-F′可得，物體的重力：
G=F_浮+F′=10N+10N=20N，
物體的密度為：
ρ=$\frac{m}{V}$=$\frac{G}{gV}$=$\frac{20N}{10N/kg×0.001{m}^{3}}$=2×10³kg/m³；
（3）圖乙容器內水的深度：
h_乙=$\frac{{V}_{水}+{V}_{物}}{{S}_{容}}$=$\frac{400c{m}^{3}×20cm+1000c{m}^{3}}{400c{m}^{2}}$=22.5cm，
物塊有一半浸在水中時，
由F_浮=ρgV_排可知，F_浮′=$\frac{1}{2}$F_浮=$\frac{1}{2}$×10N=5N，
由F_浮=G-F′可知，此時彈簧測力計的示數：
F″=G-F_浮′=20N-5N=15N，即彈簧的拉力增加了5N，
因在一定范圍內，彈簧受到的拉力每減少1N，彈簧的長度就縮短0.6cm，
所以，彈簧伸長了0.6cm/N×5N=3cm，即物體下降了3cm，
而新的液面在物體高的中點位置，液面下降了3cm+5cm=8cm，
剩余部分水的深度為22.5cm-8cm=14.5cm，
剩余部分水的體積：
V_水剩=S_容h_剩-$\frac{1}{2}$V=400cm²×14.5cm-$\frac{1}{2}$×1000cm³=5300cm³，
則剩余的水的質量：
m_水剩=ρ_水V_水剩=1.0g/cm³×5300cm²=5300g=5.3kg，
剩余的水的重力：
G_水剩=m_水剩g=5.3kg×10N/kg=53N，
因物塊受到水的浮力和物塊對水的壓力是一對相互作用力，二力大小相等，
所以，容器對桌面的壓力：
F_壓=G_容+G_剩水+F_浮=2N+53N+5N=60N，
容器對桌面的壓強：
p=$\frac{{F}_{壓}}{{S}_{容}}$=$\frac{60N}{400×1{0}^{-4}{m}^{2}}$=1500Pa．
答：（1）圖甲所示中水對容器底部的壓強是2000Pa；
（2）物體的密度為2×10³kg/m³；
（3）容器對桌面的壓強為1500Pa．

點評 本題是有關壓強和浮力的綜合計算題目，首先要掌握液體壓強的計算公式及阿基米德原理公式，此題的關鍵是能夠根據所給的條件計算出物塊有一半浸在水中時水的深度，第（3）問中，容器對桌面的壓力計算是難點．