Question

由于流體的粘滯性，使得在流體中運動的物體要受到流體阻力，在一般情況下，半徑為R的小球以速度為v運動時，所受的流體阻力的大小可用公式f=6πηRv表示（η為流體的粘滯系數，球的體積公式是V=

4

3

πR3）．已知流體的粘滯系數η可能與流體的濃度有關．小球在流體中運動時速度越大，受到的阻力越大．那么密度為ρ、半徑為R的小球在密度為ρ₀、粘滯系數為η的液體中由靜止開始下落時的v-t圖象如圖所示，請推導出速度v_t的數學表達式：v_t=

 

．

Answer 1

分析：由圖形分析可知，當小球速度達到v_r時便勻速下落，處于平衡狀態，G=F_浮+f．將數據代入公式化簡即可．

解答：解：小球在流體中下落時受重力、浮力和阻力的作用．
小球受到的重力：G=mg=ρVg=

4

3

πR³ρg，
小球所受浮力：F_浮=ρ₀Vg=

4

3

πR³ρ₀g，
小球所受流體阻力：f=6πηRv_r．
由圖象可知，當小球速度達到v_r時便勻速下落，處于平衡狀態，此時小球所受合力為零，則G=F_浮+f．
即：

4

3

πR³ρg=

4

3

πR³ρ₀g+6πηRv_r．
化簡可得：v_t=

2R2g(ρ-ρ0)

9η

．
故答案為：

2R2g(ρ-ρ0)

9η

．

點評：此題實際上是一道大型的計算題，并且計算公式是課本上沒有接觸到的．題目的難度較大，它考查了學生的自學能力以及對新知識的整合能力、計算能力等各方面的能力．