Question

演繹式探究：
由于流體的粘滯性，使得在流體中運動的物體要受到流體阻力f．在一般情況下，半徑為R的小球以速度v運動時，若用η表示流體的粘滯系數，則所受的流體阻力可用公式 f=6πηRv表示．
（1）小球在流體中運動時，速度越大，受到的阻力

越大

．
（2）密度為ρ、體積為V₀的小球在密度為ρ₀、粘滯系數為η的液體中由靜止自由下落時的v-t圖象如圖所示．小宇查找相關的資料書，獲知球的體積V與半徑R之間的數學關系為V=

4

3

πR3，請推導出速度v_T的數學表達式：v_T=

2R2g(ρ-ρ0)

9η

．

Answer 1

分析：（1）根據公式f=6πηRv，來分析阻力f與速度v的關系．
（2）對小球進行受力分析，它在流體中下落受到重力、浮力和阻力的作用．由圖形分析可知，當小球速度達到v_r時便勻速下落，處于平衡狀態，G=F_浮+f．將數據代入公式化簡即可．

解答：解：
（1）由公式f=6πηRv可以看出，小球所受流體的阻力f與小球的速度v成正比例關系，所以，小球速度越大，所受阻力越大．
（2）小球在流體中下落時受重力、浮力和阻力的作用．
小球受到的重力：G=mg=ρVg=

4

3

πR³ρg；
小球所受浮力：F_浮=ρ₀Vg=

4

3

πR³ρ₀g；
小球所受流體阻力：f=6πηRv．
由圖象可知，當小球速度達到v_r時便勻速下落，處于平衡狀態，此時小球所受合力為零，則G=F_浮+f．
即：

4

3

πR³ρg=

4

3

πR³ρ₀g+6πηRv_r．
化簡可得：v_r=

2R2g(ρ-ρ0)

9η

．
故答案為：（1）越大；（2）

2R2g(ρ-ρ0)

9η

．

點評：本題實際上是一道大型的計算題，并且計算公式是課本上沒有接觸到的，題目的難度較大，它考查了學生的自學能力以及對新知識的整合能力、計算能力等各方面的能力．