Question

已知球形物體在空氣中下落時受到的空氣阻力f=kRv（式中R為球的半徑，v為球的速度，k為比例常數），那么（　　）

A．球形物體從高空下落時速度將越來越大

B．球形物體從高空下落時速度將趨向于一個極限值

C．如果速度有一個極限值，那么勻質的大、小木球的極限速度一樣大

D．如果速度有一個極限值，那么勻質的大木球的極限速度比小木球的大

Answer 1

分析：（1）當物體從高空下落時，空氣阻力會隨速度的增大而增大，因此經過一段時間后，物體將勻速下落，這個速度稱為此物體的終極速度．
（2）由于物體在空氣中下落時受空氣的阻力f=kRv，故物體下落速度到一定值后，物體所受的阻力與重力相等，即受力平衡，運動處于勻速直線運動狀態，即此時的速度最大．所以該題只需聯系空氣阻力的公式，推導出物體到達最大速度時的速度值與其半徑的關系即可．

解答：解：（1）當物體從高空下落時，開始由于地球引力的作用，下落的速度越來越快，但空氣阻力會隨速度的增大而增大，因此經過一段時間后，物體將勻速下落，這個速度稱為此物體的終極速度，故A、B錯誤；
（2）由于物體下落速度到一定值后，球的重力和阻力會相等，即其會受力平衡，處于勻速直線運動的平衡狀態．假如球的速度達到v時最大，即此時G=f，即mg=kRv；對于大小不同的兩個球來說，其材料相同，即密度相同，由于球的體積是V=

4πR3

3

，故其質量是m=ρ?

4πR3

3

，所以mg=kRv 即為ρ?

4πR3

3

?g=kRv，即該式可以化簡為
v=

4ρπR2

3k

?g，大球的R大，則其速度的極限值大，即C錯誤，D正確．
故選D．

點評：知道的球的體積的計算方法，并能準確的找到最大速度時的空氣阻力與重力的關系是解決該題的關鍵．