Question

某科技小組設計的提升重物的裝置如圖甲所示。圖中水平桿CD與豎直桿EH、DI組合成支架固定在水平地面上。小亮站在地面上通過滑輪組提升重物，滑輪組由動滑輪Q和安裝在水平桿CD上的兩個定滑輪組成。小亮以拉力F₁勻速豎直提升物體A的過程中，物體A的速度為υ₁，滑輪組的機械效率為η_A。小亮以拉力F₂勻速豎直提升物體B的過程中，物體B的速度為υ₂，滑輪組的機械效率為η_B。拉力F₁、F₂做的功隨時間變化的圖像分別如圖乙中①、②所示。已知：υ₁=3υ₂，物體A的體積為V_A，物體B的體積為V_B，且3V_A=2V_B，物體A的密度為ρ_A，物體B的密度為ρ_B，且8ρ_A=7ρ_B。（不計繩的質量，不計滑輪與軸的摩擦）

求：機械效率η_B與η_A之差。

Answer 1

解：設物體A受的重力為G_A，物體B受的重力為G_B，動滑輪受的重力為G_動。勻速提升物體A時，以物體A和動滑輪的整體為研究對象，受力分析如圖4甲所示。勻速提升物體B時，以物體B和動滑輪的整體為研究對象，受力分析如圖4乙所示。

由圖4甲、乙得：

2F₁¢=G_A+ G_動       2F₂¢=G_B+ G_動                

又因為 F₁¢= F₁    F₂¢= F₂

所以  =       （1）  

由題中W－t圖像可知：P₁==90W   P₂==45W

由=     υ₁=3υ₂     解得：=  （2）  

由（1）、（2）解得：=   （3）            

 由G＝ρgV   3V_A=2V_B   8ρ_A=7ρ_B   解得：=  （4）

由（3）、（4）解得：

G_動=G_A        G_動=G_B                               

 

η_A ====70%               

η_B ===80%                          

η_B－η_A=80%－70%=10%                             

（其他解法正確的，均可相應得分）