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如圖所示，已知△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，DF⊥AB于F，交BE于G，FD、AC的延長線交于H，求證：DF²＝FG·FH．

如圖，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，E、F、G分別為AO、BO、CD的中點，∠BOC＝．求證：△EFG為等邊三角形．

如圖，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，對角線AC、BD相互垂直，且AD＝m，BC＝n.求證：(m＋n)²＝4S_梯形ABCD

已知A為⊙O上一點，B為⊙A與OA的交點，⊙A與⊙O的半徑分別為r、R，且r＜R．如圖，過點B作⊙A的切線與⊙O交于M、N兩點．求證：AM·AN＝2Rr．

如圖，已知：⊙O₁與⊙O₂相交于點A、B，過點B作CD⊥AB，分別交⊙O₁和⊙O₂于點C、D．

(1)如圖(1)，求證：AC是⊙O₁的直徑．

(2)若AC＝AD．

①如圖(2)，連結BO₂、O₁O₂，求證：四邊形O₁CBO₂是平行四邊形；

②若點O₂在⊙O₁外，延長O₂O₁交⊙O₁于點M，在劣弧上任取一點E(點E與點B不重合)．EB的延長線交優弧于點F，如圖(3)所示．連結AE、AF．則AE________AB(請在橫線上填上“≥”“≤”“＜”“＞”這四個不等號中的一個)，并加以證明．

如圖，已知點A在⊙O上，PC交⊙O于B、C兩點．

(1)若PA是⊙O的切線，求證：PA²＝PB·PC；

(2)若PA²＝PB·PC，求證：PA是⊙O的切線．

如圖，PC切⊙O于點C，過圓心的割線PAB交⊙O于A、B兩點，BE⊥PE，垂足為E，BE交⊙O于點D，F是PC上一點，且PF＝AF，FA的延長線交⊙O于點G．

求證：(1)∠FGD＝2∠PBC；

(2)．

如圖，△ABC內接于⊙O，AD平分∠BAC，交直線BC于點E，交⊙O于點D．

(1)過點D作MN∥BC，求證：MN是⊙O的切線；

(2)求證：AB·AC＝AD·AE；

(3)如圖，AE平分∠BAC的外角∠FAC，交BC的延長線于點E，EA的延長線交⊙O于點D．結論AB·AC＝AD·AE是否仍然成立？如果成立，請寫出證明過程；如果不成立，請說明理由．

如圖，已知⊙O的弦AB垂直于直徑CD，垂足為F，點E在AB上，且EA＝EC．

(1)求證：AC²＝AE·AB；

(2)延長EC到點P，連結PB，若PB＝PE，試判斷PB與⊙O的位置關系，并說明理由．

請看下列例題及解答：

[例]如圖，四邊形ABCD中，AB∥CD，AD＝DC＝DB＝6.5，BC＝5，求對角線AC的長．

解答：以D為圓心，AD的長為半徑作⊙D．顯然⊙D經過點A、B、C．延長CD交⊙D于點E，連結AE，根據本節《探究體驗》可知四邊形ABCE為等腰梯形，故AE＝BC＝5．

∵CE為⊙D直徑，∴∠CAE＝90°．

在Rt△ACE中，CE＝2AD＝13，AE＝5．

∴AC＝＝12．

請構造輔助圓解決下列問題：如圖，在四邊形ABCD中，AB＝AC＝AD，且∠DBC＝2∠BDC．求證：∠DAB＝3∠BAC．