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科目： 來源：2012年北京市順義區中考數學一模試卷（解析版） 題型：解答題

已知關于x的方程（k-1）x²+2kx+k+3=0．
（1）若方程有兩個不相等的實數根，求k的取值范圍；
（2）當方程有兩個相等的實數根時，求關于y的方程y²+（a-4k）y+a+1=0的整數根（a為正整數）．

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科目： 來源：2012年北京市順義區中考數學一模試卷（解析版） 題型：解答題

如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=mx²+2mx+n經過點A（-4，0）和點B（0，3），
（1）求拋物線的解析式；
（2）向右平移上述拋物線，若平移后的拋物線仍經過點B，求平移后拋物線的解析式；
（3）在（2）的條件下，記平移后點A的對應點為A′，點B的對應點為B′，試問：在平移后的拋物線上是否存在一點P，使△OA′P的面積與四邊形AA′B′B的面積相等？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由．

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科目： 來源：2012年北京市順義區中考數學一模試卷（解析版） 題型：解答題

問題：如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，點D是射線CB上任意一點，△ADE是等邊三角形，且點D在∠ACB的內部，連接BE．探究線段BE與DE之間的數量關系．請你完成下列探究過程：先將圖形特殊化，得出猜想，再對一般情況進行分析并加以證明．
（1）當點D與點C重合時（如圖2），請你補全圖形．由∠BAC的度數為______，點E落在______，容易得出BE與DE之間的數量關系為______；
（2）當點D在如圖3的位置時，請你畫出圖形，研究線段BE與DE之間的數量關系是否與（1）中的結論相同，寫出你的猜想并加以證明．