Question

已知關于x的方程（k-1）x²+2kx+k+3=0．
（1）若方程有兩個不相等的實數根，求k的取值范圍；
（2）當方程有兩個相等的實數根時，求關于y的方程y²+（a-4k）y+a+1=0的整數根（a為正整數）．

Answer 1

【答案】分析：（1）由方程有兩個不相等的實數根，即可得此一元二次方程的根的判別式△＞0，又由二次項系數k-1≠0，即可求得k的取值范圍；
（2）首先由方程有兩個相等的實數根，即△=0，求得k的值，即可得方程y²+（a-6）y+a+1=0，又由此方程的判別式△′=（a-8）²-32，可得當（a-8）²-32是完全平方數時，方程才有可能有整數根，繼而分析求解即可求得答案．
解答：解：（1）∵關于x的方程（k-1）x²+2kx+k+3=0有兩個不相等的實數根，
∴△=b²-4ac=（2k）²-4×（k-1）×（k+3）=4k²-4k²-8k+12=-8k+12＞0…（1分）
解得：k＜，
∵k-1≠0，即k≠1，
∴k的取值范圍是k＜且k≠1． …（3分）

（2）∵當方程有兩個相等的實數根時，△=-8k+12=0．
∴k=． …（4分）
∴關于y的方程為y²+（a-6）y+a+1=0．
∴△′=（a-6）²-4（a+1）=a²-12a+36-4a-4=a²-16a+32=（a-8）²-32．
由a為正整數，當（a-8）²-32是完全平方數時，方程才有可能有整數根．
設（a-8）²-32=m²（其中m為整數），32=p•q（p、q均為整數），
∴（a-8）²-m²=32．即（a-8+m）（a-8-m）=32．
不妨設兩式相加，得a=．
∵（a-8+m）與（a-8-m）的奇偶性相同，
∴32可分解為2×16，4×8，（-2）×（-16），（-4）×（-8），
∴p+q=18或12或-18或-12．
∴a=17或14或-1（不合題意，舍去）或2．
當a=17時，方程的兩根為y=，即y₁=-2，y₂=-9．…（5分）
當a=14時，方程的兩根為y=，即y₁=-3，y₂=-5．…（6分）
當a=2時，方程的兩根為y=，即y₁=3，y₂=1． …（7分）
點評：此題考查了一元二次方程根的判別式的應用．此題難度較大，注意掌握一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根與△=b²-4ac的關系，注意分類討論思想的應用．