Question

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分線與BC，AB的交點分別為D，E．
（1）若AD=10，，求AC的長和tanB的值；
（2）若AD=1，∠ADC=α，參考（1）的計算過程直接寫出的值（用sinα和cosα的值表示）．

Answer 1

【答案】分析：（1）在直角三角形ADC中利用銳減三角函數的定義求得AC=4，根據勾股定理求得CD=6；然后利用DE是線段AB的垂直平分線的性質推知AD=BD；最后在直角三角形ABC中，由銳角三角函數的定義來求tanB的值即可；
（2）根據（1）的解答過程直接寫出結果=．
解答：解：（1）∵，AD=10，
∴=；
又∵AD=10，
∴AC=8；
∴在Rt△ADC中，CD=6；
∵AB的垂直平分線是DE，
∴AD=BD，
∴tanB====，即tanB=；

（2）在Rt△ADC中，AC=AD•sin∠ADC，
∵AD=1，∠ADC=α，
∴AC=sinα，CD=cosα；
又∵DE是線段AB的垂直平分線，
∴BD=AD=1，
∴∠DAB=∠B（等邊對等角）；
而∠ADC=∠DAB+∠B（外角定理），
∴∠B=，
∴tan∠B==，即=．
點評：本題考查了解直角三角形、勾股定理以及銳角三角函數的定義．求BC的長度時，利用“線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等”求得BD的長度是解答（1）的關鍵所在．