Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，直線交x軸于點A，交y軸于點B，交直線于點C，點D與點B關于x軸對稱，連接AD交直線于點E．

填空：______．

求直線AD的解析式；

在x軸上存在一點P，則的和最小為______；直接填空即可

當時，點Q為y軸上的一個動點，使得為等腰直角三角形，求點Q的坐標．

Answer 1

【答案】（1）12；（2）；（3）；（4）點Q的坐標為或或．

【解析】

分別計算A、B、D三點的坐標，可得OA和BD的長，根據三角形面積公式可得結論；

利用待定系數法可得直線AD的解析式；

根據軸對稱的最短路徑先確認P的位置：連接BE交x軸于P，此時，最小，即是BE的長，利用勾股定理可計算BE的長，最后將其配方后，根據二次函數的最值可得結論；

存在三種情況：分別以Q、E、C三個頂點為直角頂點，畫圖可得Q的坐標．

如圖1，直線交x軸于點A，交y軸于點B，

令，，

，

令，，

，

，

點D與點B關于x軸對稱，

，

，

故答案為：12；

如圖1，設直線AD的解析式為，由知，，，

，

，

直線AD的解析式為；

如圖2，由知，直線AD的解析式為，

直線CE：，

，

點D與點B關于x軸對稱，

連接BE交x軸于P，

此時，最小，最小值為BE，

，

的最小值是，

則的和最小為；

故答案為：；

，

∽，

，

設，，

為等腰直角三角形時，存在以下三種情況：

當E為直角頂點時，如圖3，

，

則，，

，

；

當C為直角頂點時，如圖3，同理得；

當Q為直角頂點時，如圖4，

此時Q與O重合，

綜上，點Q的坐標為或或．