Question

（2004•北京）已知：如圖1，∠ACG=90°，AC=2，點B為CG邊上的一個動點，連接AB，將△ACB沿AB邊所在的直線翻折得到△ADB，過點D作DF⊥CG于點F．
（1）當BC=時，判斷直線FD與以AB為直徑的⊙O的位置關系，并加以證明；
（2）如圖2，點B在CG上向點C運動，直線FD與以AB為直徑的⊙O交于D、H兩點，連接AH，當∠CAB=∠BAD=∠DAH時，求BC的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據已知及切線的判定證明得，直線FD與以AB為直徑的⊙O相切；
（2）根據圓內接四邊形的性質及直角三角形的性質進行分析，從而求得BC的長．
解答：解：（1）判斷：直線FD與以AB為直徑的⊙O相切．
證明：如圖，
作以AB為直徑的⊙O；
∵△ADB是將△ACB沿AB邊所在的直線翻折得到的，
∴△ADB≌△ACB，
∴∠ADB=∠ACB=90°．
∵O為AB的中點，連接DO，
∴OD=OB=AB，
∴點D在⊙O中．
在Rt△ACB中，BC=，AC=2；
∴tan∠CAB==，
∴∠CAB=∠BAD=30°，
∴∠ABC=∠ABD=60°，
∴△BOD是等邊三角形．
∴∠BOD=60°．
∴∠ABC=∠BOD，
∴FC∥DO．
∵DF∥CG，
∴∠ODF=∠BFD=90°，
∴OD⊥FD，
∴FD為⊙O的切線．

（2）延長AD交CG于點E，
同（1）中的方法，可證點C在⊙O中；
∴四邊形ADBC是圓內接四邊形．
∴∠FBD=∠1+∠2．
同理∠FDB=∠2+∠3．
∵∠1=∠2=∠3，
∵∠FBD=∠FDB，
又∠DFB=90°．
∴EC=AC=2．
設BC=x，則BD=BC=x，
∵∠EDB=90°，
∴EB=x．
∵EB+BC=EC，
∴x+x=2，
解得x=2-2，
∴BC=2-2．
點評：本題主要考查了切線的判定，圓的內接四邊形等知識點，根據已知的邊的長或相等角得出特殊角從而構建出特殊的直角三角形是解題的關鍵．