Question

（2004•北京）已知：關于x的兩個方程
2x²+（m+4）x+m-4=0，①
與mx²+（n-2）x+m-3=0，②
方程①有兩個不相等的負實數根，方程②有兩個實數根．
（1）求證方程②的兩根符號相同；
（2）設方程②的兩根分別為α、β，若α：β=1：2，且n為整數，求m的最小整數值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據一元二次方程有兩個不相等的實數根，即可得到判別式△＞0，求得m的范圍，兩根的符號相同即兩根的積是正數即可．
（2）根與系數的關系列出不等式組求其解集即可．
解答：證明：（1）∵方程2x²+（m+4）x+m-4=0兩個不相等的負實數根，
∴設這兩個負實數根分別為x₁，x₂
∴即
解不等式組，得m＞4，
由方程②有兩個實數根，可知m≠0，
∴當m＞4時，＞0，即方程②的兩根之積為正，
∴方程②的兩根符號相同；

解：（2）∵方程②的兩根分別為α、β，且α：β=1：2，
∴β=2α
由把①代入②得=
∴（n-2）²=m（m-3），
由（1）知，m＞4，又m為整數，
m=6時，（n-2）²=×6×3=81
解得n=11或n=-7
當m=6，n=11時，△₁=（n-2）²-4m（m-3）＞0，
當m=6，n=-7時，△₂=（n-2）²-4m（m-3）＞0，
∴m的最小整數值為6．
點評：（1）一元二次方程根的兩根同號的條件是判別式△≥0，且兩根的積大于0，即＞0；
（2）根據一元二次方程根與系數的關系，即可得到關于方程兩根的和與積的值，可以用來簡化運算．