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(2005•三明)如圖,已知⊙O1和⊙O2相交于A、B兩點,直線CD、EF過點B交⊙O1于點C、E,交⊙O2于點D、F.
(1)求證:△ACD∽△AEF;
(2)若AB⊥CD,且在△AEF中,AF、AE、EF的長分別為3、4、5,求證:AC是⊙O2的切線.

【答案】分析:(1)兩角對應相等可以判定△ACD∽△AEF.
(2)由勾股定理得出∠EAF=90°,證明AC是⊙O2的切線,AC⊥AD是關鍵,通過△ACD∽△AEF得以證明.
解答:證明:(1)∵在⊙O1中,∠C=∠E,
∵∠D=∠F,
∴△ACD∽△AEF;

(2)∵AB⊥CD,即∠ABD=90°,
∴AD是⊙O2的直徑,
∵在△AEF中,AF2+AE2=32+42=52=EF2
∴∠EAF=90°,
由(1)得△ACD∽△AEF,
∴∠CAD=∠EAF=90°,
∴AC⊥AD,
又∵AD是⊙O2的直徑,
∴AC是⊙O2的切線.
點評:本題考查了相似三角形的判定和性質及切線的判定的綜合運用.
練習冊系列答案
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