Question

如圖，已知點A（-4，8）和點B（2，n）在拋物線y=ax²上．
（1）求a的值及點B關于x軸對稱點P的坐標，并在x軸上找一點Q，使得AQ+QB最短，求出點Q的坐標；
（2）平移拋物線y=ax²，記平移后點A的對應點為A′，點B的對應點為B′，點C（-2，0）和點D（-4，0）是x軸上的兩個定點．
①當拋物線向左平移到某個位置時，A′C+CB′最短，求此時拋物線的函數解析式；
②當拋物線向左或向右平移時，是否存在某個位置，使四邊形A′B′CD的周長最短？若存在，求出此時拋物線的函數解析式；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）把（-4，8）代入y=ax²可求得a的值，把x=2代入所求的拋物線解析式，可得n的值，那么P的坐標為2，縱坐標為-n，求得AP與x軸的交點即為Q的坐標；
（2）A′C+CB′最短，說明拋物線向左平移了線段CQ的距離，用頂點式設出相應的函數解析式，把新頂點坐標代入即可；
（3）左右平移時，使A′D+DB′′最短即可，那么作出點A′關于x軸對稱點的坐標為A′′，得到直線A′′B′′的解析式，讓y=0，求得相應的點的坐標；進而得到拋物線頂點平移的規律，用頂點式設出相應的函數解析式，把新頂點坐標代入即可．

解答：
解：（1）將點A（-4，8）的坐標代入y=ax²，
解得a=

1

2

；
將點B（2，n）的坐標代入y=

1

2

x²，
求得點B的坐標為（2，2），
則點B關于x軸對稱點P的坐標為（2，-2），
設直線AP的解析式為y=kx+b，

-4k+b=8 2k+b=-2

，
解得：

k=- 5 3 b= 4 3

，
∴直線AP的解析式是y=-

5

3

x+

4

3

，
令y=0，得x=

4

5

．
即所求點Q的坐標是（

4

5

，0）；

（2）①CQ=|-2-

4

5

|=

14

5

，（1分）
故將拋物線y=

1

2

x²向左平移

14

5

個單位時，A′C+CB′最短，

此時拋物線的函數解析式為y=

1

2

（x+

14

5

）²；
②左右平移拋物線y=

1

2

x²，因為線段A′B′和CD的長是定值，
所以要使四邊形A′B′CD的周長最短，只要使A′D+CB′最短；（1分）

第一種情況：如果將拋物線向右平移，顯然有A′D+CB′＞AD+CB，
因此不存在某個位置，使四邊形A′B′CD的周長最短；
第二種情況：設拋物線向左平移了b個單位，
則點A′和點B′的坐標分別為A′（-4-b，8）和B′（2-b，2）．
因為CD=2，因此將點B′向左平移2個單位得B′′（-b，2），
要使A′D+CB′最短，只要使A′D+DB′′最短，
點A′關于x軸對稱點的坐標為A′′（-4-b，-8），
直線A′′B′′的解析式為y=

5

2

x+

5

2

b+2．
要使A′D+DB′′最短，點D應在直線A′′B′′上，
將點D（-4，0）代入直線A′′B′′的解析式，解得b=

16

5

．
故將拋物線向左平移時，存在某個位置，使四邊形A′B′CD的周長最短，
此時拋物線的函數解析式為y=

1

2

（x+

16

5

）²．

點評：用到的知識點為：兩點關于x軸對稱，橫坐標相同，縱坐標互為相反數；拋物線平移，不改變二次項的系數，看頂點是如何平移的即可；涉及距離之和最小問題，應從作其中一點關于直線的對稱點入手思考．