Question

在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=-x²+bx+c與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，頂點為D，過點A的直線與拋物線交于點E，與y軸交于點F，且點B的坐標為（3，0），點E的坐標為（2，3）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若點G為拋物線對稱軸上的一個動點，H為x軸上一點，當以點C、G、H、F四點所圍成的四邊形的周長最小時，求出這個最小值及點G、H的坐標；
（3）設直線AE與拋物線對稱軸的交點為P，M為直線AE上的任意一點，過點M作MN∥PD交拋物線于點N，以P、D、M、N為頂點的四邊形能否為平行四邊形？若能，請求點M的坐標；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）將點B和點E的坐標代入y=-x²+bx+c，建立二元一次方程組，求出b、c的值即可；
（2）先根據（1）的結論求出A、C的坐標及對稱軸，畫出函數圖象，在y軸的負半軸上取一點I，使得點F點I關于x軸對稱，在x軸上取點H，連接HF、HI、HG、GC、GE、則GF=HI．由待定系數法求出AE的解析式，求出F的坐標，就可以求出CF的值，由勾股定理可以求出EI的值，根據兩點之間線段最短，求出求出EI的解析式就可以求出G、H的坐標，由勾股定理就可以求出最小值；
（3）根據平行四邊形的性質和AE的解析式就可以求出D的坐標，由拋物線的解析式可以求出D的坐標，求出PD的值，可以設出M的坐標（x，x+1）分情況討論當M在線段AE上和在線段AE或EA的延長線上時，分別表示出N點的坐標從而求出結論．
解答：解：（1）∵y=-x²+bx+c經過（3，0）和（2，3），
∴，
解得：，
∴拋物線的解析式為：y=-x²+2x+3；

（2）∵y=-x²+2x+3，
∴y=-（x-1）²+4，
∴對稱軸為x=1．
當y=0時，-x²+2x+3=0，
∴x₁=-1，x₂=3，
∴A（-1，0）．
當x=0時，y=3，
∴C（0，3）
∴CE=2．OC=3
如圖，在y軸的負半軸上取一點I，使得點F點I關于x軸對稱，在x軸上取點H，連接HF、HI、HG、GC、GE、則GF=HI．
∵拋物線的對稱軸為x=1，
∴點C點E關于對稱軸x=1對稱，
∴CG=EG．
設直線AE的解析式為y=kx+b，由題意，得
，
解得：，
∴直線AE的解析式為y=x+1．
當x=0時，y=1，
∴F（0，1），
∴OF=1，CF=2．
∵點F與點I關于x軸對稱，
∴I（0，-1），
∴OI=1，CI=4．
在Rt△CIE中，由勾股定理，得
EI==2．
∵要使四邊形CFHG的周長最小，而CF是定值，
∴只要使CG+GH+HF最小即可．
∵CG+GH+HF=EG+GH+HI，
∴只有當EI為一條直線時，EG+GH+HI最小．
設EI的解析式為y=k₁x+b₁，由題意，得
，
解得：，
∴直線EI的解析式為：y=2x-1，
∵當x=1時，y=1，
∴G（1，1）．
∵當y=0時，x，
∴H（，0），
∴四邊形CFHG的周長最小值=CF+CG+GH=CF+EI=2+2；

（3）∵y=-x²+2x+3，
∴y=-（x-1）²+4，
∴D（1，4）
∴直線AE的解析式為y=x+1．
∴x=1時，y=2，
∴P（1，2），
∴PD=2．
∵四邊形DPMN是平行四邊形，
∴PD=MN=2．
∵點M在AE上，設M（x，x+1），
①當點M在線段AE上時，點N點M的上方，則N（x，x+3），
∵N點在拋物線上，
∴x+3=-x²+2x+3，
解得：x=0或x=1（舍去）
∴M（0，1）．
②當點M在線段AE或EA的延長線上時，點N在M的下方，則N（x，x-1）．
∵N點在拋物線上，
∴x-1=-x²+2x+3，
解得：x=或x=，
∴M（，）或（，）．
∴M的坐標為：M（0，1）或（，）或（，）．
點評：本題是一道二次函數的綜合試題，考查了待定系數法求函數的解析式的運用，四邊形周長的最值的運用，軸對稱的性質的運用，數學建模的運用，平行四邊形的性質的運用，分類討論思想的運用，解答本題時求出函數的解析式是關鍵．