Question

【題目】如圖，在ABCD中，E是AD上一點，延長CE到點F，使∠FBC=∠DCE．
（1）求證：∠D=∠F；
（2）用直尺和圓規在AD上作出一點P，使△BPC∽△CDP（保留作圖的痕跡，不寫作法）．

Answer 1

【答案】
（1）證明：BF交AD于G，如圖，

∵四邊形ABCD為平行四邊形，

∴AD∥BC，

∴∠FBC=∠FGE，

而∠FBC=∠DCE，

∴∠FGE=∠DCE，

∵∠GEF=∠DEC，

∴∠D=∠F

（2）解：如圖，點P為所作．

【解析】（1）BF交AD于G，先利用AD∥BC得到∠FBC=∠FGE，加上∠FBC=∠DCE，所以∠FGE=∠DCE，然后根據三角形內角和定理易得∠D=∠F；（2）分別作BC和BF的垂直平分線，它們相交于點O，然后以O為圓心，OC為半徑作△BCF的外接圓⊙O，⊙O交AD于P，連結BP、CP，則根據圓周角定理得到∠F=∠BPC，而∠F=∠D，所以∠D=∠BPC，接著可證明∠PCD=∠APB=∠PBC，于是可判斷△BPC∽△CDP．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解平行四邊形的性質的相關知識，掌握平行四邊形的對邊相等且平行；平行四邊形的對角相等，鄰角互補；平行四邊形的對角線互相平分．