Question

如圖稱為“趙爽弦圖”，它是由于四個全等的直角三角形與中間的一個小正方形拼成的一個大正方形．
（1）請說明正方形ABCD∽正方形EFGH；
（2）設∠BAF=α，是否存一個α值，使面積S_{正方形EFGH}=

1

2

S正方形ABCD？如果存在，請求sinα的值；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據它是由于四個全等的直角三角形與中間的一個小正方形拼成的一個大正方形可以得到：∠BAD=∠FEH，∠ABC=∠EFG，∠BCD=∠FGH，∠CDA=∠GHE和AB=BC=CD=DA，EF=FG=GH=HE，進而可以得到

EF

AB

=

FG

BC

=

GH

CD

=

HE

DA

，從而得到結論
（2）設AB=a，EF=x，據題意可以得到x2=

1

2

a2，即x=

1

2

a．然后再設BF=y，利用勾股定理可以得到（x+y）²+y²=a²，從而解得y=

6 - 2

4

a（負值舍去），然后得到sinα=

BF

AB

=

6 - 2

4

．

解答：解：（1）∵∠BAD=∠FEH，∠ABC=∠EFG，∠BCD=∠FGH，∠CDA=∠GHE，
又AB=BC=CD=DA，EF=FG=GH=HE，
∴

EF

AB

=

FG

BC

=

GH

CD

=

HE

DA

，∴正方形ABCD∽正方形EFGH．（4分）

（2）存在，設AB=a，EF=x，則由條件有x2=

1

2

a2，即x=

1

2

a．（6分）
又設BF=y，則有（x+y）²+y²=a²，
即(

2

2

a+y)2+y2=a2，
化簡得：2y2+

2

ay-

1

2

a2=0，（8分）
解得y=

6 - 2

4

a（負值舍去），（9分）∴sinα=

BF

AB

=

6 - 2

4

．（11分）

點評：本題考查了相似多邊形的應用、正方形的性質、銳角三角函數的定義及勾股定理的知識，是一道比較復雜的綜合題．