Question

如圖稱(chēng)為“趙爽弦圖”，它是由于四個(gè)全等的直角三角形與中間的一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形．
（1）請(qǐng)說(shuō)明正方形ABCD∽正方形EFGH；
（2）設(shè)∠BAF=α，是否存一個(gè)α值，使面積S_{正方形EFGH}=？如果存在，請(qǐng)求sinα的值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)它是由于四個(gè)全等的直角三角形與中間的一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形可以得到：∠BAD=∠FEH，∠ABC=∠EFG，∠BCD=∠FGH，∠CDA=∠GHE和AB=BC=CD=DA，EF=FG=GH=HE，進(jìn)而可以得到，從而得到結(jié)論
（2）設(shè)AB=a，EF=x，據(jù)題意可以得到，即．然后再設(shè)BF=y，利用勾股定理可以得到（x+y）²+y²=a²，從而解得（負(fù)值舍去），然后得到．
解答：解：（1）∵∠BAD=∠FEH，∠ABC=∠EFG，∠BCD=∠FGH，∠CDA=∠GHE，
又AB=BC=CD=DA，EF=FG=GH=HE，
∴，∴正方形ABCD∽正方形EFGH．（4分）

（2）存在，設(shè)AB=a，EF=x，則由條件有，即．（6分）
又設(shè)BF=y，則有（x+y）²+y²=a²，
即，
化簡(jiǎn)得：，（8分）
解得（負(fù)值舍去），（9分）∴．（11分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似多邊形的應(yīng)用、正方形的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)的定義及勾股定理的知識(shí)，是一道比較復(fù)雜的綜合題．