Question

把自然數按上小下大、左小右大的原則排成如圖的三角形數表（每行比上一行多一個數）．設a_ij（i、j∈N+）是位于這個三角形數表中從上往下數第i行、從左往右數的第j個數（如a₄₂=8）．
（1）若a_ij=2010，求i、j的值．
（2）記三角形數表從上往下數第n行各數的和為b_n，令．若數列{c_n}的前n項和為T_n，求T_n．

Answer 1

解：（1）因為=1953，
而=2016，所以i=63．
于是，第63行的第一個數是+1=1954．
故j=（2010-1954）+1=57．

（2）前n行的所有自然數的和為S_n==．
則，
所以當n≥2時，c_n=，
∴T_n=．
分析：（1）三角形數表中前n行共有1+2+…+n=個，即第i行的最后一個數是．
因此，使a_ij=2010的i是不等式≥2010的最小正整數解．
（2）先求出前n行的所有自然數的和，從而得出b_n，代入即可求得c_n，T_n．
點評：本題考查了規律型：數字的變化，注意三角形數表中前n行共有1+2+…+n=個，即第i行的最后一個數是，依此解題．