Question

把自然數按上小下大、左小右大的原則排成如圖的三角形數表（每行比上一行多一個數）．設a_ij（i、j∈N+）是位于這個三角形數表中從上往下數第i行、從左往右數的第j個數（如a₄₂=8）．
（1）若a_ij=2010，求i、j的值．
（2）記三角形數表從上往下數第n行各數的和為b_n，令cn=

1，n=1 n bn-n ，n≥2

．若數列{c_n}的前n項和為T_n，求T_n．

Answer 1

分析：（1）三角形數表中前n行共有1+2+…+n=

n(n+1)

2

個，即第i行的最后一個數是

i(i+1)

2

．
因此，使a_ij=2010的i是不等式

i(i+1)

2

≥2010的最小正整數解．
（2）先求出前n行的所有自然數的和，從而得出b_n，代入即可求得c_n，T_n．

解答：解：（1）因為

62×63

2

=1953，
而

63×64

2

=2016，所以i=63．
于是，第63行的第一個數是

62×63

2

+1=1954．
故j=（2010-1954）+1=57．

（2）前n行的所有自然數的和為S_n=

1

2

×

n(n+1)

2

[

n(n+1)

2

+1]=

n(n+1)(n2+n+2)

8

．
則bn=Sn-Sn-1=

n(n2+1)

2

，
所以當n≥2時，c_n=

n

bn-n

=

1

n-1

-

1

n+1

，
∴T_n=

5

2

-

1

n

-

1

n+1

．

點評：本題考查了規律型：數字的變化，注意三角形數表中前n行共有1+2+…+n=

n(n+1)

2

個，即第i行的最后一個數是

i(i+1)

2

，依此解題．