Question

如圖，已知點A（1，m），B（2，n）在反比例函數的圖象，設直線AB與x軸交于點C，AD⊥x軸于D點，
（1）若m=n+1，求t的值；
（2）若m，n是關于x方程：x²-2ax+a²-1=0的兩根，問：在x軸上是否存在點E，使得△ABE與△ADC相似？若存在，請求出點E坐標；不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）把點A、B的坐標代入反比例函數解析式，然后根據m=n+1代入整理得到關于t的一元一次方程，然后解方程即可得解；
（2）利用因式分解法求出方程的解，然后結合圖形得到m、n的表達式，再根據（1）的方法利用反比例函數解析式代入求出t的值，從而得到點A、B的坐標，利用待定系數法求出直線AB的解析式，再求出點C的坐標，從而得到AD、CD的長度，然后分①BE是直角邊時，利用兩角對應相等，兩三角形相似判定，再根據相似三角形對應邊成比例列式求出CE的長，從而得到點E的坐標，②AE是直角邊時，根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和求出∠ABE=∠BEC+∠ACD，從而得到△ABE與△ADC不可能相似．
解答：解：（1）∵點A（1，m），B（2，n）在反比例函數圖象上，
∴m=t，n=t，
∵m=n+1，
∴t=t+1，
解得t=2；

（2）x²-2ax+a²-1=0，
（x-a-1）（x-a+1）=0，
∴x-a-1=0，x-a+1=0，
解得x₁=a+1，x₂=a-1，
結合圖形可知m＞n，
∴m=a+1，n=a-1，
∴a+1=t，a-1=t，
解得t=4，
∴反比例函數解析式為y=，
∴點A、B的坐標是A（1，4）、B（2，2），
設直線AB的解析式為y=kx+b，
則，
解得，
∴直線AB的解析式為y=-2x+6，
當y=0時，-2x+6=0，
解得x=3，
∴點C的坐標為（3，0），
又∵A（1，4）、B（2，2），
∴AD=4，CD=3-1=2，且點B是AC的中點，
①如圖1，當BE是直角邊時，△AEC關于BE成軸對稱，
∴∠AEB=∠CEB，
∵∠CEB+∠ACE=90°，∠CAD+∠ACD=90°，
∴∠CEB=∠AEB=∠CAD，
在△ABE與△CDA中，，
∴△ABE∽△CDA，
在Rt△CDA中，AC===2，
∴BC=AC=，
∵∠ACD=∠ECB，∠ADC=∠EBC=90°，
∴△ACD∽△ECB，
∴=，
即=，
解得CE=5，
∴OE=3-5=-2，
∴點E的坐標為（-2，0），
②如圖2，當AE是直角邊時，∠ABE=∠BEC+∠ACD，
∴△ABE與△ADC不可能相似．
故在x軸上存在點E（-2，0），使得△ABE∽△CDA．
點評：本題綜合考查了反比例函數的問題，待定系數法求直線解析式，相似三角形的判定與性質，一元二次方程的求解，反比例函數圖象與一次函數圖象的交點問題，綜合性質較強，難度較大．