Question

如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，△ABD是等邊三角形，將四邊形ACBD沿直線EF折疊，使D與C重合，CE與CF分別交AB于點G、H．
（1）求證：△AEG∽△CHG；
（2）若BC=1，求cos∠CHG的值．

Answer 1

分析：（1）由于△ABD是等邊三角形，那么∠D=∠EAG=60°，根據折疊的性質知：∠D=∠GCH=∠AEG=60°，再加上對頂角∠EGA=∠HGC，即可證得所求的三角形相似．
（2）在Rt△ABC中，已知了BC的長和∠BAC的度數，即可求得AB、AC的值，由折疊的性質知：DE=CE，可設出DE、CE的長，然后表示出AE的長，進而可在Rt△AEC中，由勾股定理求得AE、CE的值，即可得到∠AEG的余弦值，而根據（1）的相似三角形知∠AEG=∠CHG，由此得解．

解答：（1）證明：∵△ABD是等邊三角形，
∴∠EAG=∠D=60°；
根據折疊的性質知：DE=CE，∠D=∠GCH=∠EAG=60°，
又∵∠EGA=∠HGC，
∴△AEG∽△CHG．

（2）解：△ABC中，∠BAC=30°，BC=1，則AC=

3

，AB=2；
故AD=AB=2；
設DE=EC=x，則AE=2-x；
在Rt△AEC中，由勾股定理，得：
（2-x）²+3=x²，解得x=

7

4

；
∴AE=

1

4

，EC=

7

4

，
∴cos∠AEC=

AE

EC

=

1

7

；
由（1）的相似三角形知：∠AEG=∠CHG，
故cos∠CHG=cos∠AEC=

1

7

．

點評：此題考查的知識點有：等邊三角形的性質、相似三角形的判定和性質、圖形的翻折變換以及銳角三角函數的定義等知識，難度適中．