Question

如果n是正整數，那么

1

8

[1-（-1）ⁿ]（n²-1）的值（　　）

• A、一定是零
• B、一定是偶數
• C、是整數但不一定是偶數
• D、不一定是整數

Answer 1

分析：因為n是正整數，即n可以是奇數，也可以是偶數．因此要分n為奇數，n為偶數情況討論．

解答：解：當n為奇數時，（-1）ⁿ=-1，1-（-1）ⁿ=2，
設不妨n=2k+1（k取自然數），
則n²-1=（2k+1）²-1=（2k+1+1）（2k+1-1）=4k（k+1），
∴k與（k+1）必有一個是偶數，
∴n²-1是8的倍數．
所以

1

8

[1-（-1）ⁿ]（n²-1）=

1

8

×2×8的倍數，
即此時

1

8

[1-（-1）ⁿ]（n²-1）的值是偶數；
當n為偶數時，（-1）ⁿ=1，1-（-1）ⁿ=0，
所以

1

8

[1-（-1）ⁿ]（n²-1）=0，
此時

1

8

[1-（-1）ⁿ]（n²-1）的值是0，也是偶數．
綜上所述，如果n是正整數，

1

8

[1-（-1）ⁿ]（n²-1）的值是偶數．
故選B．

點評：解題關鍵是掌握負數的奇數次冪是負數，負數的偶數次冪是正數；-1的奇數次冪是-1，-1的偶數次冪是1．偶數與偶數的積是偶數，偶數與奇數的積是偶數，奇數與奇數的積是奇數．