Question

某商場計劃采購甲、乙、丙三種型號的“格力”牌空調共25臺．三種型號的空調進價和售價如下表：

種類 價格	甲	乙	丙
進價（元/臺）	1600	1800	2400
售價（元/臺）	1800	2050	2600

商場計劃投入總資金5萬元，所購進的甲、丙型號空調數量相同，乙型號數量不超過甲型號數量的一半．若設購買甲型號空調x臺，所有型號空調全部售出后獲得的總利潤為W元．
（1）求W與x之間的函數關系式．
（2）商場如何采購空調才能獲得最大利潤？
（3）由于原材料上漲，商場決定將丙型號空調的售價提高a元（a≥100），其余型號售價不變，則商場又該如何采購才能獲得最大利潤？

Answer 1

（1）設購買甲型號空調x臺，可得丙型空調為x臺，乙型空調（25-2x）臺，
則W=x+（25-2x）+x=6250-100x；
（2）由題意得：0≤25-2x≤

1

2

x，
解得：10≤x≤12.5，
又∵x為正整數，得到x=10，11，12，
∵W=6250-100x，
∴k=-100＜0，
∴W隨x的增大而減小，
∴當x=10時，W有最大值5250元．
∴商場采購甲型號空調10臺，乙型空調5臺，丙型空調為10臺利潤最大；
（3）根據題意，得
W=x+（25-2x）+（2600+a-2400）x
=（a-100）x+6250．
∵a≥100，
∴a-100≥0，
∴W隨x的增大而增大，
∴當x=12時，W最大．
故商場采購甲型號空調12臺，乙型空調1臺，丙型空調為12臺利潤最大；