Question

如圖，在菱形ABCD中，∠B=60°，點E、F分別從點B、D出發以同樣的速度沿邊BC、DC向點C運動．給出以下四個結論：
①AE=AF；
②∠CEF=∠CFE；
③當點E，F分別為邊BC，DC的中點時，△AEF是等邊三角形；
④當點E，F分別為邊BC，DC的中點時，△AEF的面積最大．
上述結論中正確的序號有

 

．（把你認為正確的序號都填上）

Answer 1

分析：根據菱形的性質對各個結論進行驗證從而得到正確的序號．

解答：解：∵點E、F分別從點B、D出發以同樣的速度沿邊BC、DC向點C運動，
∴BE=DF，
∵AB=AD，∠B=∠D，
∴△ABE≌△ADF，
∴AE=AF，①正確；
∴CE=CF，
∴∠CEF=∠CFE，②正確；
∵在菱形ABCD中，∠B=60°，
∴AB=BC，
∴△ABC是等邊三角形，
∴當點E，F分別為邊BC，DC的中點時，BE=

1

2

AB，DF=

1

2

AD，
∴△ABE和△ADF是直角三角形，且∠BAE=∠DAF=30°，
∴∠EAF=120°-30°-30°=60°，
∴△AEF是等邊三角形，③正確；
∵△AEF的面積=菱形ABCD的面積-△ABE的面積-△ADF的面積-△CEF的面積=

3

2

AB²-

1

2

BE•AB×

3

2

×2-

1

2

×

3

2

×（AB-BE）²=-

3

4

BE²+

3

4

AB²，
∴△AEF的面積是BE的二次函數，
∴當BE=0時，△AEF的面積最大，④錯誤．
故正確的序號有①②③．

點評：本題考查了菱形的性質、全等三角形的判定和等邊三角形的判定．