Question

【題目】已知△ABC中，AD⊥BC，垂足為D，且AD＝4，以AD為直徑作圓O，交AB邊于點(diǎn)G，交AC邊于點(diǎn)F,如果點(diǎn)F恰好是的中點(diǎn)．

(1)求CD的長度.

(2)當(dāng)BD＝3時，求BG的長度．

Answer 1

【答案】(1)CD＝4；(2).

【解析】

(1)先根據(jù)垂徑定理可得FO⊥AD，結(jié)合AD⊥BC，可得出OF∥CD，進(jìn)而可得，再結(jié)合AD的長度即可求出CD的長度；

(2) 先在Rt△ABD中利用勾股定理求出AB的長度，再過點(diǎn)O作OH⊥AG于點(diǎn)H，由垂徑定理可得AG＝2AH，易證△OAH∽△BAD，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求出AH的長度，進(jìn)而可得出AG、BG的長度，此題得解．

解：(1)∵點(diǎn)F是的中點(diǎn)，OF是半徑，∴OF⊥AD．

∵AD⊥BC，∴OF∥CD，∴△AOF∽△ACD，∴．

∵OF＝OA，AD＝4，∴CD＝4．

(2)過點(diǎn)O作OH⊥AG，垂足為H，如圖所示．

∵在⊙O中，OH⊥AG，∴AG＝2AH．

∵∠ADB＝90°，∴AD2+BD2＝AB2．

∵BD＝3，AD＝4，∴AB＝5．

∵∠OAH＝∠BAD，∠ADB＝∠AHO，

∴△OAH∽△BAD，∴，即，

∴，，∴．