Question

【題目】如圖1，正方形ABCD的一邊AB在直尺一邊所在直線MN上，點O是對角線AC、BD的交點，過點O作OE⊥MN于點E．

（1）如圖1，線段AB與OE之間的數量關系為　 　．（請直接填結論）

（2）保證點A始終在直線MN上，正方形ABCD繞點A旋轉θ（0＜θ＜90°），過點 B作BF⊥MN于點F．

①如圖2，當點O、B兩點均在直線MN右側時，試猜想線段AF、BF與OE之間存在怎樣的數量關系？請說明理由．

②如圖3，當點O、B兩點分別在直線MN兩側時，此時①中結論是否依然成立呢？若成立，請直接寫出結論；若不成立，請寫出變化后的結論并證明．

③當正方形ABCD繞點A旋轉到如圖4的位置時，線段AF、BF與OE之間的數量關系為　 　．（請直接填結論）

Answer 1

【答案】（1）AB=2OE；（2）①AF+BF=2OE,證明見解析;②AF﹣BF=2OE 證明見解析;③BF﹣AF=2OE，

【解析】試題分析：（1）利用直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半即可得出結論；

（2）①過點B作BH⊥OE于H，可得四邊形BHEF是矩形，根據矩形的對邊相等可得EF=BH，BF=HE，根據正方形的對角線相等且互相垂直平分可得OA=OB，∠AOB=90°，再根據同角的余角相等求出∠AOE=∠OBH，然后利用“角角邊”證明△AOE和△OBH全等，根據全等三角形對應邊相等可得OH=AE，OE=BH，再根據AF-EF=AE，整理即可得證；

②過點B作BH⊥OE交OE的延長線于H，可得四邊形BHEF是矩形，根據矩形的對邊相等可得EF=BH，BF=HE，根據正方形的對角線相等且互相垂直平分可得OA=OB，∠AOB=90°，再根據同角的余角相等求出∠AOE=∠OBH，然后利用“角角邊”證明△AOE和△OBH全等，根據全等三角形對應邊相等可得OH=AE，OE=BH，再根據AF-EF=AE，整理即可得證；

③同②的方法可證．

試題解析：（1）∵AC，BD是正方形的對角線，

∴OA=OC=OB，∠BAD=∠ABC=90°，

∵OE⊥AB，

∴OE=AB，

∴AB=2OE，

（2）①AF+BF=2OE

證明：如圖2，過點B作BH⊥OE于點H

∴∠BHE=∠BHO=90°

∵OE⊥MN，BF⊥MN

∴∠BFE=∠OEF=90°

∴四邊形EFBH為矩形

∴BF=EH，EF=BH

∵四邊形ABCD為正方形

∴OA=OB，∠AOB=90°

∴∠AOE+∠HOB=∠OBH+∠HOB=90°

∴∠AOE=∠OBH

∴△AEO≌△OHB（AAS）

∴AE=OH，OE=BH

∴AF+BF=AE+EF+BF=OH+BH+EH=OE+OE=2OE．

②AF﹣BF=2OE

證明：如圖3，延長OE，過點B作BH⊥OE于點H

∴∠EHB=90°

∵OE⊥MN，BF⊥MN

∴∠AEO=∠HEF=∠BFE=90°

∴四邊形HBFE為矩形

∴BF=HE，EF=BH

∵四邊形ABCD是正方形

∴OA=OB，∠AOB=90°

∴∠AOE+∠BOH=∠OBH+∠BOH

∴∠AOE=∠OBH

∴△AOE≌△OBH（AAS）

∴AE=OH，OE=BH，

∴AF﹣BF

=AE+EF﹣HE=OH﹣HE+OE=OE+OE=2OE

③BF﹣AF=2OE，

如圖4，作OG⊥BF于G，則四邊形EFGO是矩形，

∴EF=GO，GF=EO，∠GOE=90°，

∴∠AOE+∠AOG=90°．

在正方形ABCD中，OA=OB，∠AOB=90°，

∴∠AOG+∠BOG=90°，

∴∠AOE=∠BOG．

∵OG⊥BF，OE⊥AE，

∴∠AEO=∠BGO=90°．

∴△AOE≌△BOG（AAS），

∴OE=OG，AE=BG，

∵AE﹣EF=AF，EF=OG=OE，AE=BG=AF+EF=OE+AF，

∴BF﹣AF=BG+GF﹣（AE﹣EF）=AE+OE﹣AE+EF=OE+OE=2OE，

∴BF﹣AF=2OE．