Question

如圖，PB切⊙O于B點，直線PO交⊙O于點E，F(xiàn)，過點B作PO的垂線BA，垂足為點D，交⊙O于點A，延長AO交⊙O于點C，連結(jié)BC，AF．

（1）求證：直線PA為⊙O的切線；

（2）若BC＝6，∶=1∶2，求⊙O的半徑的長．

 

Answer 1

【答案】

（1）連接OB，根據(jù)切線的性質(zhì)可得∠PBO＝90°，再有OA＝OB，BA⊥PO于D，公共邊PO可證得△PAO≌△PBO，即得∠PAO＝∠PBO＝90°，從而可以證得結(jié)論；（2）5

【解析】

試題分析：（1）連接OB，根據(jù)切線的性質(zhì)可得∠PBO＝90°，再有OA＝OB，BA⊥PO于D，公共邊PO可證得△PAO≌△PBO，即得∠PAO＝∠PBO＝90°，從而可以證得結(jié)論；

（2）設(shè)AD＝x，根據(jù)∶=1∶2，即可表示出FD＝2x，OA＝OF＝2x－3，在Rt△AOD中，根據(jù)勾股定理即可列方程求解．

（1）如圖，連接OB

∵PB是⊙O的切線

∴∠PBO＝90°

∵OA＝OB，BA⊥PO于D

∴AD＝BD，∠POA＝∠POB

又∵PO＝PO

∴△PAO≌△PBO

∴∠PAO＝∠PBO＝90°

∴直線PA為⊙O的切線；

（2）∵OA＝OC，AD＝BD，BC＝6

∴OD＝BC＝3

設(shè)AD＝x

∵∶=1∶2

∴FD＝2x，OA＝OF＝2x－3

在Rt△AOD中，由勾股定理得(2x－3)²＝x²＋3²

解得x₁＝4，x₂＝0（不合題意，舍去）

∴AD＝4，OA＝2x－3＝5

即⊙O的半徑的長5．

考點：切線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理

點評：解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握切線垂直于經(jīng)過切點的半徑，注意勾股定理在圓中的靈活應(yīng)用.