Question

如圖，PB切⊙O于B點，直線PO交⊙O于點E，F，過點B作PO的垂線BA，垂足為點D，交⊙O于點A，延長AO交⊙O于點C，連接BC，AF．
（1）求證：直線PA為⊙O的切線；
（2）若BC=6，AD：FD=1：2，求⊙O的半徑的長．

Answer 1

（1）證明：如圖，連接OB．
∵PB是⊙O的切線，
∴∠PBO=90°．
∵OA=OB，BA⊥PO于D，
∴AD=BD，∠POA=∠POB．
又∵PO=PO，
∴△PAO≌△PBO．
∴∠PAO=∠PBO=90°．
∴直線PA為⊙O的切線．

（2）解：∵OA=OC，AD=BD，BC=6，
∴OD=BC=3．
設AD=x．
∵AD：FD=1：2，
∴FD=2x，OA=OF=2x-3．
在Rt△AOD中，由勾股定理，得（2x-3）²=x²+3²．
解之得，x₁=4，x₂=0（不合題意，舍去）．
∴AD=4，OA=2x-3=5．
即⊙O的半徑的長5．
分析：（1）連接OB，根據垂徑定理的知識，得出OA=OB，∠POA=∠POB，繼而證明△PAO≌△PBO，然后利用全等三角形的性質結合切線的判定定理即可得出結論．
（2）根據題意可確定OD是△ABC的中位線，設AD=x，然后利用三角函數的知識表示出FD、OA，在Rt△AOD中，利用勾股定理解出x的值．
點評：此題考查了切線的判定與性質、勾股定理、全等三角形的判定與性質，綜合考查的知識點較多，關鍵是熟練掌握一些基本性質和定理，在解答綜合題目是能靈活運用．