Question

如圖，反比例函數y=

k

x

的圖象與一次函數y=mx+b的圖象交于兩點A（1，3），B（n，-1）．
（1）求反比例函數與一次函數的函數關系式；
（2）求由A、B、O三點構成的三角形面積；
（3）在反比例函數的圖象上另找點P，使得點A、O、P構成的三角形面積與A、B、O三點構成的三角形面積相等，這樣的點還有幾個？請直接寫出個數．

Answer 1

分析：（1）先把A（1，3）代入反比例函數解析式求出k，再把B（n，1）代入反比例函數解析式求出n，然后利用待定系數法確定一次函數y=mx+b的解析式；
（2）先確定C點坐標為（0，2），然后利用S_△AOB=S_△OBC+S_△AOC進行計算；
（3）設點P的坐標為：（a，

3

a

），討論：①當點P在第一象限，且在A點的右側，即a＞1，如圖作AE⊥x軸于E，PF⊥x軸于F，易得S_△AOP=S_梯形AEFP=

1

2

×（

3

a

+3）×（a-1）=4，解得a₁=3，a₂=-

1

3

，滿足條件P點坐標為（3，1）；當點P在第一象限，且在A點的右側，即0＜a＜1，S_△AOP=S_梯形AEFP=

1

2

×（

3

a

+3）×（1-a）=4，解得a₁=-3，a₂=

1

3

，得到P點坐標為（

1

3

，3）；
②當點P在第三象限，即a＜0，PA交y軸于H點，利用待定系數法求出直線PA的解析式為y=-

3

a

x+

3(a+1)

a

，則H點坐標為（0，

3(a+1)

a

），得到S_△AOP=S_△OHP+S_△OAH=

1

2

（-a）•|

3(a+1)

a

|+

1

2

×1×|

3(a+1)

a

|=4，然后討論H點在x軸上方或下方，去絕對值得到兩個方程，解方程就可確定a的值，從而得到P點坐標．

解答：解：（1）∵點A（1，3）在反比例函數y=

k

x

的圖象上，
∴k=1×3=3，
∴反比例函數的解析式為：y=

3

x

；
把B（n，-1）代入y=

3

x

得，n=

3

-1

=-3，
∴點B的坐標為（-3，-1），
把A（1，3）、B（-3，-1）代入y=mx+b得

m+b=3 -3m+b=-1

，
解得

m=1 b=2

，
故一次函數的函數關系式為：y=x+2；
（2）對于y=x+2，令x=0，則y=3，
則C點坐標為（0，2），
則S_△AOB=S_△OBC+S_△AOC=

1

2

×2×3+

1

2

×2×1=4；
（3）設點P的坐標為：（a，

3

a

），
當點P在第一象限，且在A點的右側，即a＞1，如圖，作AE⊥x軸于E，PF⊥x軸于F，
∵S_△AOP+S_△OPF=S_△AOE+S_梯形AEFP，
而S_△OPF=S_△AOE，
∴S_△AOP=S_梯形AEFP=

1

2

×（

3

a

+3）×（a-1）=4，解得a₁=3，a₂=-

1

3

，
∴a=3，此時P點坐標為（3，1）；
當點P在第一象限，且在A點的右側，即0＜a＜1，
S_△AOP=S_梯形AEFP=

1

2

×（

3

a

+3）×（1-a）=4，解得a₁=-3，a₂=

1

3

，
則a=

1

3

，此時P點坐標為（

1

3

，3）；
當點P在第三象限，即a＜0，PA交y軸于H點，如圖，
易求出直線PA的解析式為y=-

3

a

x+

3(a+1)

a

，
則H點坐標為（0，

3(a+1)

a

），
則S_△AOP=S_△OHP+S_△OAH=

1

2

（-a）•|

3(a+1)

a

|+

1

2

×1×|

3(a+1)

a

|=4，
當H點在x軸上方，

1

2

（-a）•

3(a+1)

a

+

1

2

×1×

3(a+1)

a

=4，解得a₁=-3，a₂=

1

3

，
故a=-3，此時P點與B點重合；
當H點在x軸下方，

1

2

（-a）•[-

3(a+1)

a

]+

1

2

×1×[-

3(a+1)

a

]=4，解得a₁=3，a₂=-

1

3

，
則a=-

1

3

，此時P點坐標為（-

1

3

，-3），
故滿足條件的P點有三個：（3，1），（

1

3

，3），（-

1

3

，-3）．

點評：本題考查了反比例函數的綜合題：點在反比例函數圖象上，點的坐標滿足其解析式；利用待定系數法求函數的解析式；運用分類討論的方法去探究滿足條件的點的個數．