Question

在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=20cm，BC=15cm．現有動點P從點A出發，沿AC向點C方向運動，動點Q從點C出發，沿線段CB也向點B方向運動．如果點P的速度是4cm/秒，點Q的速度是2cm/秒，它們同時出發，當有一點到達所在線段的端點時，就停止運動，設運動的時間為t秒．
求：（1）用含t的代數式表示Rt△CPQ的面積S；
（2）當t=3秒時，P、Q兩點之間的距離是多少？
（3）當t為多少秒時，以點C、P、Q為頂點的三角形與△ABC相似？

Answer 1

分析：（1）由點P，點Q的運動速度和運動時間，又知AC，BC的長，可將CP、CQ用含t的表達式求出，代入直角三角形面積公式S_△CPQ=

1

2

CP×CQ求解；
（2）在Rt△CPQ中，由（1）可知CP、CQ的長，運用勾股定理可將PQ的長求出；
（3）應分兩種情況，當Rt△CPQ∽Rt△CAB時，根據

CP

CA

=

CQ

CB

，可將時間t求出；當Rt△CPQ∽Rt△CBA時，根據

CP

CB

=

CQ

CA

，可求出時間t．

解答：解：（1）由題意得AP=4t，CQ=2t，則CP=20-4t，
因此Rt△CPQ的面積為S=

1

2

×(20-4t)×2t=20t-4t2cm²；

（2）當t=3秒時，CP=20-4t=8cm，CQ=2t=6cm，
由勾股定理得PQ=

CP2+CQ2

=

82+62

=10cm；

（3）分兩種情況：
①當Rt△CPQ∽Rt△CAB時，

CP

CA

=

CQ

CB

，即

20-4t

20

=

2t

15

，解得t=3秒；
②當Rt△CPQ∽Rt△CBA時，

CP

CB

=

CQ

CA

，即

20-4t

15

=

2t

20

，解得t=

40

11

秒．
因此t=3秒或t=

40

11

秒時，以點C、P、Q為頂點的三角形與△ABC相似．

點評：本題主要考查相似三角形性質的運用，在解第三問時應分兩種情況進行求解，在解題過程應防止漏解或錯解．