Question

已知反比例函數圖象過第二象限內的點A（-2，m）AB⊥x軸于B，Rt△AOB面積為3，若直線y=ax+b經過點A，并且經過反比例函數的圖象上另一點C（n，-），
（1）反比例函數的解析式為______，m=______，n=______；
（2）求直線y=ax+b的解析式；
（3）在y軸上是否存在一點P，使△PAO為等腰三角形？若存在，請直接寫出P點坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

解：
（1）在Rt△OAB中，OB=2，S_△OAB=3，
∴AB=3，
即A（-2，3），
∴反比例函數的解析式為y=-，
∴C（4，-），

（2）設直線AC的解析式為y=kx+b，則有：
，
解得：，
∴y=-x+；

（3）∵A（-2，3），
∴OA=，
當OP=0A時，可得P₁（0，）；P₂（0，-）；
當OA=AP時，P₃（0，6）；
當OP=AP時，可得P₄（0，）；
答：存在點P使△PAO為等腰三角形；點P坐標分別為：
P₁（0，）；P₂（0，-）；P₃（0，6）；P₄（0，）．
分析：（1）根據△AOB的面積求出A點的坐標，然后根據A點坐標確定出反比例函數的解析式．進而求得C點的坐標．根據C、A的坐標即可求得直線AC的解析式；
（2）設直線AC的解析式為y=kx+b，則由已知條件求出k，b的值，即可得問題答案；
（3）以O為圓心，OA為半徑，交坐標軸于四點，這四點均符合點P的要求．以A為圓心，AO為半徑，交坐標軸于兩點，作AO的垂直平分線，交坐標軸于兩點，因此共有8個符合要求的點．再找到在y軸上的點即可．
點評：本題考查反比例函數和一次函數解析式的確定、圖形的面積求法、等腰三角形的判定等知識及綜合應用知識、解決問題的能力．要注意（3）在不確定等腰三角形的腰和底的情況下要考慮到所有的情況，不要漏解．