Question

（2011•臨川區模擬）如圖，已知正方形紙片ABCD，首先將正方形紙片對折，使AB與CD重合，折痕為EF，再沿直線CG折疊，使B點落在EF上，對應點為B′，連接A B′、D B′，則下列結論正確的是

①②③

．（多填或錯填得0分，少填酌情給分）
①EF平分線段GC；
②△GHB′是等邊三角形；
③∠GAB′=75°；
④圖中等腰三角形（等邊三角形除外）共有4個．

Answer 1

分析：①根據正方形的性質可以得出四邊相等和對邊平行，再由軸對稱的性質可以得出EF是BC的垂直平分線，最后根據平行線等分線段定理可以得出其結論．
②連接BB′，由對稱軸的性質得出△BB′C為正三角形及△GB′C為直角三角形，從而得出∠BB′C=60°，得∠GB′B=∠GBB′=30°，由軸對稱的性質得出BB′⊥GC，可以得出∠BGC=60°，從而證明△BB′C為等邊三角形．
③由②得出∠GBB′=30°，且由軸對稱得出△ABB′為等腰三角形，從而求出∠GAB′=75°．
④由①、②中的結論可以得出圖中等腰三角形（含等邊三角形）共有4個．

解答：解：①∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，AB=BC=CD=AD，
∵EF是對稱軸，
∴AB∥EF∥CD，BF=CF，
∴

CH

GH

=

CF

BF

，
∴CH=GH，
∴EF平分線段GC； 
故此結論正確；
②連接BB′．
∵GC是對稱軸，
∴GC⊥BB′，BB′=B′C，BC=B′C，∠GB′C=90°，
∴△BB′C是正三角形，
∴∠BBC′=60°，
∴∠GB′B=∠GBB′=30°，
∴∠B′GC=60°．
∵CH=GH，
∴HB′=GH，
∴△GHB′是等邊三角形．
故此結論正確；
③∵EF、GC是對稱軸，
∴BB′=B′C，且B′C=AB，
∴BB′=AB且∠GBB′=30°，
∴∠GAB′=75°．
故此結論正確；
④在沒有作輔助線的圖中，由軸對稱的性質和直角三角形的性質得出△AB′D、△B′DC、△HB′C、△HGB′是等腰三角形，但△HGB′是等邊三角形．
故此結論錯誤．
故答案為：①②③．

點評：本題是一道有關軸對稱的試題，考查了軸對稱的性質及運用，直角三角形的性質，等腰三角形的判定及運用，正方形的性質及平行線等分線段定理的運用．