Question

已知：△ABC中，記∠BAC=α，∠ACB=β．
（1）如圖1，若AP平分∠BAC，BP，CP分別平分△ABC的外角∠CBM和∠BCN，BD⊥AP于點D，用α的代數式表示∠BPC的度數，用β的代數式表示∠PBD的度數
（2）如圖2，若點P為△ABC的三條內角平分線的交點，BD⊥AP于點D，猜想（1）中的兩個結論是否發生變化，補全圖形并直接寫出你的結論．

Answer 1

解：（1）∵∠BAC+∠CBA+∠ACB=180°，∠BAC=α
∴∠CBA+∠ACB=180°-∠BAC=180°-α
∵∠MBC+∠ABC=180°，∠NCB+∠ACB=180°
∴∠MBC+∠NGB=360°-∠ABC-∠ACB=360°-（180°-α）=180°+α
∵BP，CP分別平分△ABC的外角∠CBM和∠BCN
∴∠PBC=∠MBC，∠PCB=∠NCB
∴∠PBC+∠PCB=∠MBC+∠NCB=（180°-α）=90°-α
∵∠BPC+∠PBC+∠PCB=180°
∴∠BPC=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°-（90°-α）=90°+α
∵∠BAC=α，∠ACB=β，∵∠MBC是△ABC的外角
∴∠MBC=α+β
∵BP平分∠MBC
∴∠MBP=∠MBC=（α+β）
∵∠MBP是△ABP的外角，AP 平分∠BAC
∴∠BAP=α，∠MBP=∠BAP+∠APB
∴∠APB=∠MPB-∠BAP=（α+β）-α=β；

（2）如圖2，若點P為△ABC的三條內角平分線的交點，BD⊥AP于點D，猜想（1）中的兩個結論不發生變化，
；．
分析：根據三角形內角和定理可求出∠CBA+∠ACB，根據鄰補角的性質可求出∠MBC+∠NGB，再根據角平分線的性質∠PBC+∠PCB，根據三角形內角和定理算出結果．
點評：本題考查了三角形內角和定理，角平分線，外角的性質．注意知識的靈活運用．