Question

如圖，點D是⊙O直徑CA的延長線上一點，點B在⊙O上，且AB＝AD＝AO．

（1）求證：BD是⊙O的切線；

（2）若點E是劣弧BC上一點，弦AE與BC相交

于點F，且CF＝9，cos∠BFA＝，求EF的長．

 

 

 

 

 

Answer 1

 

（1）證明：聯結BO，……………………………1分

方法一：∵AB＝AD，∴∠D＝∠ABD，

∵AB＝AO，

∴∠ABO＝∠AOB，………………2分

又在△OBD中，∠D+∠DOB+∠ABO+∠ABD＝180°，

               ∴∠OBD＝90°，即BD⊥BO，

∴BD是⊙O的切線．····················· 3分

方法二：∵AB＝AO，BO＝AO，∴AB＝AO＝BO，∴△ABO為等邊三角形，

∴∠BAO＝∠ABO＝60°，

∵AB＝AD，∴∠D＝∠ABD，

又∠D＋∠ABD＝∠BAO＝60°，∴∠ABD＝30°，…………………2分

∴∠OBD＝∠ABD＋∠ABO＝90°，即BD⊥BO，

∴BD是⊙O的切線． ……………………………………………………3分

方法三：∵ AB＝AD＝AO，∴點O、B、D在以OD為直徑的⊙A上 …………2分

∴∠OBD＝90°，即BD⊥BO，

∴BD是⊙O的切線． ……………………………………………………3分

（2）解：∵∠C＝∠E，∠CAF＝∠EBF，∴△ACF∽△BEF， ……………………·· 4分

             ∵AC是⊙O的直徑，∴∠ABC＝90°，

在Rt△BFA中，cos∠BFA＝，∴，

             又∵CF=9，

∴EF=6．…………………5分

 

 解析:略