Question

如圖，在正方形ABCD中，F是邊BC上一點（點F與點B、點C均不重合），AE⊥AF，AE交CD的延長線于點E，連接EF交AD于點G．
（1）求證：BF•FC=DG•EC；
（2）設正方形ABCD的邊長為1，是否存在這樣的點F，使得AF=FG．若存在，求出這時BF的長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由正方形的性質，可得AB=AD，再根據已知和同角的余角相等得出可得出∠BAF=∠EAD，從而證明出△BAF≌△EAD，則BF=DE．再根據AD∥BC，推出

DG

FC

=

BF

EC

，化為乘積式即可；
（2）設BF=x，則FC=1-x，EC=1+x，由AF=FG，則∠FAG=∠FGA，再根據AD∥BC，推出△ABF∽△ECF．則

BF

AB

=

FC

EC

，即

x

1

=

1-x

1+x

．從而可求出x，舍去負根，從而求出BF的長．

解答：解：（1）證明：∵正方形ABCD，
∴AB=AD，∠ABC=∠ADE=90°，∠BAD=90°（1分）
又∵AE⊥AF，∴∠EAF=90°
∴∠BAD=∠EAF，即∠BAF+∠FAD=∠EAD+∠DAF
∴∠BAF=∠EAD（1分）
∴△BAF≌△EAD，∴BF=DE．（1分）
∵AD∥BC，
∴

DG

FC

=

ED

EC

．∴

DG

FC

=

BF

EC

．（2分）
∴BF•FC=DG•EC．（1分）

（2）設BF=x，則FC=1-x，EC=1+x，
若AF=FG，則∠FAG=∠FGA
∵AD∥BC，∴∠BFA=∠FAG，∠CFE=∠FGA
∴∠BFA=∠CFE，（1分）
又∠ABF=∠ECF=90°
∴△ABF∽△ECF．（1分）
∴

BF

AB

=

FC

EC

，即：

x

1

=

1-x

1+x

．（2分）
∴x²+2x-1=0．（1分）
解得：x=

2

-1．（負根舍去）（1分）
（注：求解的方法很多，參照上述步驟給分．）

點評：本題考查了相似三角形的判定和性質、全等三角形的判定和性質以及正方形的性質、平行線分線段成比例定理．是中考壓軸題，難度較大．