Question

已知如下圖，AE⊥BC于E，DC⊥BC于C，BE＝EC，M是AE上一點，AM＝DC，連結CM、DM，作MF交AB于F，連結DF，又知∠DFM＝∠AMF＋∠MDC，求證：AB²＋DF²＝2AM²＋2AD²．

Answer 1

答案：
解析：

證明：連結AC． 　　∵AM∥DC，AM＝DC， 　　∴四邊形AMCD是平行四邊形． 　　∵BE＝EC，AE⊥EC， 　　∴AC＝AB． 　　∵∠DFM＝∠AMF＋∠MDC，∠MDC＝∠DMA， 　　∴∠DFM＝∠AMF＋∠DMA＝∠DMF． 　　∴DF＝DM． 　　根據結論2，有 　　AC2＋DM2＝AM2＋MC2＋CD2＋DA2． 　　∴AB2＋DF2＝2AM2＋2AD2． 　　分析：不易找到所證線段間的直接關系．注意到四邊形AMCD是平行四邊形，所證結論的等號右邊恰好是平行四邊形各邊的平方和．若能證得等號左邊等于平行四邊形兩對角線的平方和，便可靈巧應用結論2使問題巧妙獲證．