Question

（2010•豐臺區一模）已知二次函數y=x²-mx+m-2．
（1）求證：無論m為任何實數，該二次函數的圖象與x軸都有兩個交點；
（2）當該二次函數的圖象經過點（3，6）時，求二次函數的解析式；
（3）將直線y=x向下平移2個單位長度后與（2）中的拋物線交于A、B兩點（點A在點B的左邊），一個動點P自A點出發，先到達拋物線的對稱軸上的某點E，再到達x軸上的某點F，最后運動到點B．求使點P運動的總路徑最短的點E、點F的坐標，并求出這個最短總路徑的長．

Answer 1

分析：（1）拋物線的解析式中，令y=0，若拋物線與x軸有兩個交點，那么所得方程的根的判別式△＞0，可據此來證明此題的結論．
（2）將已知點的坐標代入所求的拋物線解析式中，即可求出待定系數m的值，從而確定該拋物線的解析式．
（3）直線y=x向下平移2個單位后，解析式為：y=x-2（上加下減），聯立拋物線的解析式，可求得點A、B的坐標；求P點運動的最短路徑，也就是求AE+EF+BF的最小值，可取A關于拋物線對稱軸的對稱點A′，取B關于x軸的對稱點B′，A′、B′的坐標易求得，即可得到直線A′B′的解析式，那么直線A′B′與拋物線對稱軸和x軸的交點，即為所求的E、F點，此時P點運動的最短路徑即為A′B′的長，根據A′、B′的坐標易求得線段A′B′的長，由此得解．

解答：（1）證明：令y=0，則x²-mx+m-2=0，
∵△=（-m）²-4（m-2）=m²-4m+8=（m-2）²+4，（1分）
又∵（m-2）²≥0，
∴（m-2）²+4＞0，即△＞0．
∴無論m為任何實數，一元二次方程x²-mx+m-2=0總有兩不等實根；
∴該二次函數圖象與x軸都有兩個交點．（2分）

（2）解：∵二次函數y=x²-mx+m-2的圖象經過點（3，6），
∴3²-3m+m-2=6，
解得m=

1

2

；
∴二次函數的解析式為y=x2-

1

2

x-

3

2

．（3分）

（3）解：將y=x向下平移2個單位長度后得到解析式為：y=x-2，（4分）
解方程組

y=x-2 y=x2- 1 2 x- 3 2

，
得

x1= 1 2 y1=- 3 2

，

x2=1 y2=-1

；
∴直線y=x-2與拋物線y=x2-

1

2

x-

3

2

的交點為A(

1

2

，-

3

2

)

，&B(1，-1)

；
∴點A關于對稱軸x=

1

4

的對稱點是A′(0，-

3

2

)，
點B關于x軸的對稱點是B'（1，1），設過點A'、B'的直線解析式為y=kx+b；
∴

b=- 3 2 k+b=1

，

k= 5 2 b=- 3 2

，
∴直線A'B'的解析式為y=

5

2

x-

3

2

；
∴直線A'B'與x軸的交點為F(

3

5

，0)（5分）
與直線x=

1

4

的交點為E(

1

4

，-

7

8

)（6分）
則點E(

1

4

，-

7

8

)、F(

3

5

，0)為所求；
過點B'做B'H⊥AA'的延長線于點H，
∴B′H=

5

2

，HA'=1；
在Rt△A'B'H中，A′B′=

B′H2+A′H2

=

29

2

，
∴所求最短總路徑的長為AE+EF+FB=A'B'=

29

2

．（7分）

點評：此題是二次函數的綜合題，考查了根的判別式、函數解析式的確定、函數圖象交點坐標的求法、軸對稱的性質、平面展開-最短路徑問題等重要知識點，綜合性強，難度較大．