Question

（1）求證：關于x的一元二次方程x²+（m-3）x-3m=0一定有兩個實數根；
（2）若關于x的方程x²-x+3k-6=0有兩個不相等的實數根，求k的取值范圍；
（3）設題（1）中方程的兩根為a、b，若恰有一個直角三角形的三邊長分別為2、a、b，試求m的值。

Answer 1

解：（1）∵x²+（m-3）x-3m=0是關于x的一元二次方程，
∴△=（m-3）²-4×1×（-3m）
=m²+6m+9
=（m+3）²≥0，
∴原方程一定有兩個實數根。
（2）
=4（2k-3）-12k+24
=-4k+12
∵原方程有兩個不相等的實數根，
∴-4k+12＞0，
∴k＜3；
∵2k-3≥0，
∴k≥
∴k的取值范圍是：。
（3）x²+（m-3）x-3m=0
（x+m）（x-3）=0
解得：x₁=-m，x₂=3，
∴a=-m，b=3，
∴2²+（-m）²=3²，
∴，
∵a=-m＞0，
∴m＜0，
∴，
2²+3²=（-m）²

∵m＜0，
∴；
∴m的值是：或。