Question

（2013•門頭溝區一模）操作與探究：
在平面直角坐標系xOy中，點P從原點O出發，且點P只能每次向上平移2個單位長度或向右平移1個單位長度．
（1）實驗操作：在平面直角坐標系xOy中，點P從原點O出發，平移1次后可能到達的點的坐標是（0，2），（1，0）；點P從原點O出發，平移2次后可能到達的點的坐標是（0，4），（1，2），（2，0）；點P從原點O出發，平移3次后可能到達的點的坐標是

（0，6），（1，4），（2，2），（3，0）

；
（2）觀察發現：
任一次平移，點P可能到達的點在我們學過的一種函數的圖象上，如：平移1次后在函數y=-2x+2的圖象上；平移2次后在函數y=-2x+4的圖象上，…．若點P平移5次后可能到達的點恰好在直線y=3x上，則點P的坐標是

（2，6）

；
（3）探究運用：
點P從原點O出發經過n次平移后，到達直線y=x上的點Q，且平移的路徑長不小于30，不超過32，求點Q的坐標．

Answer 1

分析：（1）根據平移的規律是：在平面直角坐標系xOy中，點P從原點O出發，且點P只能每次向上平移2個單位長度或向右平移1個單位長度．所以平移可以連續向上平移，也可以連續向右平移，也可以先向上平移后向右平移（或先向右平移后向上平移）；
（2）根據正比函數圖象上點的坐標特征來填空；
（3）設點Q的坐標為（x，y），求出Q點的坐標，得出n的取值范圍，再根據點Q的坐標為正整數即可進行解答．

解答：解：（1）∵在平面直角坐標系xOy中，點P從原點O出發，且點P只能每次向上平移2個單位長度或向右平移1個單位長度，
∴當點P平移3次后的坐標是：
①當點P連續向上平移3次時，點P的坐標是（0，6）；
②當點P先向右平移1次，再向上平移2次時，點P的坐標是（1，4）；
③當點P先向右平移2次，再向上平移1次時，點P的坐標是（2，2）；
③當點P連續相右平移3次時，點P的坐標是（3，0）．

（2）∵平移1次后在函數y=-2x+2的圖象上；
平移2次后在函數y=-2x+4的圖象上，
∴點P平移n次后可能到達的點恰好在直線y=-2x+2n上，
又∵點P平移5次后可能到達的點恰好在直線y=3x上．
∴-2x+2×5=3x，
解得x=2，
則y=2×3=6，
∴P（2，6）；

（3）設點Q的坐標為（x，y）．
由題意，得 

y=-2x+2n y=x

，
 解得 

x= 2n 3 y= 2n 3

，
∴點Q的坐標為(

2n

3

，

2n

3

)．
∵平移的路徑長為（x+y），
∴30≤

4n

3

≤32．
∴22.5≤n≤24．
∵點Q的坐標為正整數，
∴點Q的坐標為（16，16）．
故答案是：（0，6），（1，4），（2，2），（3，0）；（2，6）．

點評：本題考查的是一次函數的圖象與幾何變換，熟知函數圖象平移的法則是解答此題的關鍵．