Question

如圖，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=2．將△ABC繞點C按順時針方向旋轉n度后得到△EDC，此時點D在AB邊上，斜邊DE交AC邊于點F，則n的大小和圖中陰影部分的面積分別為（ ）

A．30，2
B．60，2
C．60，
D．60，

Answer 1

【答案】分析：先根據已知條件求出AC的長及∠B的度數，再根據圖形旋轉的性質及等邊三角形的判定定理判斷出△BCD的形狀，進而得出∠DCF的度數，由直角三角形的性質可判斷出DF是△ABC的中位線，由三角形的面積公式即可得出結論．
解答：解：∵△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=2，
∴∠B=60°，AC=BC×cot∠A=2×=2，AB=2BC=4，
∵△EDC是△ABC旋轉而成，
∴BC=CD=BD=AB=2，
∵∠B=60°，
∴△BCD是等邊三角形，
∴∠BCD=60°，
∴∠DCF=30°，∠DFC=90°，即DE⊥AC，
∴DE∥BC，
∵BD=AB=2，
∴DF是△ABC的中位線，
∴DF=BC=×2=1，CF=AC=×2=，
∴S_陰影=DF×CF=×=．
故選C．
點評：本題考查的是圖形旋轉的性質及直角三角形的性質、三角形中位線定理及三角形的面積公式，熟知圖形旋轉的性質是解答此題的關鍵，即：
①對應點到旋轉中心的距離相等；
②對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角；
③旋轉前、后的圖形全等．