Question

已知關于x的一元二次方程x²+2（k-1）x+k²-1=0有兩個不相等的實數根x₁，x₂．
（1）求實數k的取值范圍；
（2）若3（x₁+x₂）=x₁x₂，求k的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據一元二次方程有兩個不相等的實數根，得出△=b²-4ac的值大于0，建立關于k的不等式，解不等式即可求出k的取值范圍；
（2）根據一元二次方程的根與系數的關系可以得到x₁+x₂=-2（k-1），x₁x₂=k²-1，再將它們代入3（x₁+x₂）=x₁x₂，即可求出k的值．
解答：解：（1）△=[2（k-1）]²-4（k²-1）
=4k²-8k+4-4k²+4
=-8k+8．   
∵原方程有兩個不相等的實數根，
∴-8k+8＞0，
解得 k＜1，
即實數k的取值范圍是 k＜1；

（2）由根與系數的關系，x₁+x₂=-2（k-1），x₁x₂=k²-1，
∵3（x₁+x₂）=x₁x₂，
∴-6（k-1）=k²-1，
化簡得k²+6k-7=0，
（k-1）（k+7）=0
∴k=1或k=-7，
又∵k＜1，
∴k=-7．
點評：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0根的判別式和根與系數的關系的應用，用到的知識點：
（1）△＞0?方程有兩個不相等的實數根；
（2）△=0?方程有兩個相等的實數根；
（3）△＜0?方程沒有實數根；
（4）x₁+x₂=-；
（5）x₁•x₂=．