Question

已知：如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=a，BC=b，DC=a+b，且b＞a，點M是AB邊的中點．
（1）求證：CM⊥DM；
（2）求點M到CD邊的距離．（用含a，b的式子表示）

Answer 1

分析：（1）延長DM，CB交于點E，求出∠ADM=∠BEM，AM=BM證△ADM≌△BEM，推出AD=BE=a，DM=EM，求出CE=DC，即可得出答案；
（2）分別作MN⊥DC，DF⊥BC，垂足分別為點N，F，求出MN=MB，四邊形ABFD為矩形．推出BF=AD=a，AB=DF，根據勾股定理得出DF²=DC²-FC²=（a+b）²-（b-a）²=4ab．求出DF=2

ab

，代入MN=MB=

1

2

AB=

1

2

DF求出即可．

解答：證明：（1）延長DM，CB交于點E．（如圖1）
∵梯形ABCD中，AD∥BC，
∴∠ADM=∠BEM，
∵點M是AB邊的中點，
∴AM=BM．
在△ADM與△BEM中，

∠ADM=∠BEM ∠AMD=∠BME AM=BM

，
∴△ADM≌△BEM．
∴AD=BE=a，DM=EM，
∴CE=CB+BE=b+a．
∵CD=a+b，
∴CE=CD．
∴CM⊥DM．

（2）分別作MN⊥DC，DF⊥BC，垂足分別為點N，F．（如圖2）
∵CE=CD，DM=EM，
∴CM平分∠ECD，
∵∠ABC=90°，即MB⊥BC，
∴MN=MB，
∵AD∥BC，∠ABC=90°，
∴∠A=90°，
∵∠DFB=90°，
∴四邊形ABFD為矩形，
∴BF=AD=a，AB=DF，
∴FC=BC-BF=b-a，
∵Rt△DFC中，∠DFC=90°，
∴DF²=DC²-FC²=（a+b）²-（b-a）²=4ab，
∴DF=2

ab

，
∴MN=MB=

1

2

AB=

1

2

DF=

ab

，
即點M到CD邊的距離為

ab

．

點評：本題主要考查對直角梯形，全等三角形的性質和判定，矩形的性質和判定，等腰三角形的性質，勾股定理，角平分線性質等知識點的理解和掌握，綜合運用這些性質進行推理和計算是解此題的關鍵．