Question

如圖直角坐標(biāo)系中，以M（3，0）為圓心的⊙M交x軸負(fù)半軸于A，交x軸正半軸于B，交y軸于C、D．
（1）若C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，4），求點(diǎn)A坐標(biāo)．
（2）在（1）的條件下，在⊙M上，是否存在點(diǎn)P，使∠CPM=45°，若存在，求出滿足條件的點(diǎn)P．
（3）過C作⊙M的切線CE，過A作AN⊥CE于F，交⊙M于N，當(dāng)⊙M的半徑大小發(fā)生變化時(shí)．AN的長度是否變化？若變化，求變化范圍，若不變，證明并求值．

Answer 1

分析：（1）結(jié)合題意，連接CM，根據(jù)點(diǎn)M和點(diǎn)C的坐標(biāo)可得出⊙M的半徑，即MA的長，利用M的坐標(biāo)即可得出A的坐標(biāo)；
（2）假設(shè)存在這樣的點(diǎn)P，根據(jù)題意，可知△CMP為等腰直角三角形，且CM=MP=5．根據(jù)圓的方程和兩點(diǎn)直接的距離公式列出方程組，解之即可得出點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）作MH⊥AN于H，則AH=NH，易證△AMH≌△MCO，故AH=M0．從而可證AH為一定值．

解答：解：（1）根據(jù)題意，連接CM，又M（3，0），C（0，4）；
故CM=5，即⊙M的半徑為5；
所以MA=5，且M（3，0）；
即得A（-2，0）；

（2）假設(shè)存在這樣的點(diǎn)P（x，y），結(jié)合題意，
可得△CMP為等腰直角三角形，且CM=PM=5，
故CP=5

2

；
結(jié)合題意有，

(x-3)2+y2=25 x2+(y-4)2=50

；
解之得：

x1=7 y1=3

、

x2=-1 y2=-3

⊙
即存在兩個(gè)這樣的點(diǎn)P；
P₁（7，3），P₂（-1，-3）；

（3）AN的長不變?yōu)?．
證明：連接CM，作MH⊥AN于H，
易證△AMH≌△MCO，
故AH=M0=3．
即AN=HN+AH=3+3=6．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查的是垂徑定理的應(yīng)用和切線與圓之間的性質(zhì)關(guān)系，要求學(xué)生能夠熟練掌握并運(yùn)用．