Question

如圖，在△ABC中，∠B=90°，AB=6米，BC=8米，動點P以2米/秒得速度從A點出發，沿AC向C移動，同時，動點Q以1米/秒得速度從C點出發，沿CB向B移動。當其中有一點到達終點時，他們都停止移動，設移動的時間為t秒。

（1）①當t=2.5秒時，求△CPQ的面積；

     ②求△CPQ的面積S（平方米）關于時間t（秒）的函數關系式；

（2）在P、Q移動的過程中，當△CPQ為等腰三角形時，寫出t的值；

（3）以P為圓心，PA為半徑的圓與以Q為圓心，QC為半徑的圓相切時，求出t的值。

 

Answer 1

解：在Rt△ABC中，AB=6米，BC=8米，∴AC=10米

由題意得：AP=2t，CQ=10-2t

（1）①過點P作PD⊥BC于D。

∵t=2.5，AP=2×2.5=5，QC=2.5

∴PD=AB=3，∴S=×QC×PD=3.75

②過點Q作QE⊥PC于點E

易知Rt△QEC∽Rt△ABC，∴，QE=

∴S=

（2）當秒（此時PC=QC），秒（此時PQ=QC），或秒（此時PQ=PC）△CPQ為等腰三角形；

（3）過點P作PF⊥BC于點F，則有△PCF∽△ACB

∴，即

∴PF=，FC=

則在Rt△PFQ中，

當⊙P與⊙Q外切時，有PQ=PA+QC=3t，此時

整理得：，解得

故⊙P與⊙Q外切時，；

當⊙P與⊙Q內切時，有PQ=PA-QC=t，此時

整理得：，解得

故⊙P與⊙Q內切時

解析:略