Question

如圖，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，點D為AB邊上的一動點（D不與A、B重合），過D作DE∥BC，交AC于點E．把△ADE沿直線DE折疊，點A落在點A′處．連接BA′，設AD=x，△ADE的邊DE上的高為y．

（1）求出y與x的函數關系式；
（2）若以點A′、B、D為頂點的三角形與△ABC 相似，求x的值；
（3）當x取何值時，△A′DB是直角三角形．

Answer 1

【答案】分析：（1）先過A點作AM⊥BC，得出BM=BC=3，再根據DE∥BC，得出AN⊥DE，即y=AN，再在Rt△ABM中，求出AM的值，再根據DE∥BC，求出△ADE∽△ABC，即可求出y與x的函數關系式；
（2）根據△A'DE由△ADE折疊得到，得出AD=A'D，AE=A'E，再由（1）可得△ADE是等腰三角形，得出AD=A'D，AE=A'E，即可證出四邊形ADA'E是菱形，得出∠BDA'=∠BAC，再根據∠BAC≠∠ABC，∠BAC≠∠C，得出∠BDA'≠∠ABC，∠BDA'≠∠C，從而證出△BDA'∽△BAC，即可求出x的值；
（3）先分三種情況進行討論；第一種情況當∠BDA'=90°，得出∠BDA'≠90°；第二種情況當∠BA'D=90°，根據四邊形ADA'E是菱形，得出點A'必在DE垂直平分線上，即直線AM上，求出AM和A'M=的值，再在Rt△BA'M中，表示出A'B²，再在Rt△BA'D中，求出法和條件的x；第三種情況當∠A'BD=90°，根據∠A'BD=90°，∠AMB=90°，得出△BA'M∽△ABM，即可求出BA'的值，再在Rt△D BA'中，根據DB²+A'B²=A'D²，求出x的值，即可證出△A′DB是直角三角形；
解答：解：（1）過A點作AM⊥BC，垂足為M，交DE于N點，則BM=BC=3，
∵DE∥BC，
∴AN⊥DE，即y=AN．
在Rt△ABM中，AM=
=4，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴=，
∴=，
∴y=（0＜x＜5）．        
（2）∵△A'DE由△ADE折疊得到，
∴AD=A'D，AE=A'E，
∵由（1）可得△ADE是等腰三角形，
∴AD=AE，
∴A'D=A'E，
∴四邊形ADA'E是菱形，
∴AC∥D A'，
∴∠BDA'=∠BAC，
又∵∠BAC≠∠ABC，
∴∠BDA'≠∠ABC，
∵∠BAC≠∠C，
∴∠BDA'≠∠C，
∴有且只有當BD=A'D時，△BDA'∽△BAC，
∴當BD=A'D，即5-x=x時，x=．      
    
（3）第一種情況：∠BDA'=90°，
∵∠BDA'=∠BAC，而∠BAC≠90°，
∴∠BDA'≠90°．          
第二種情況：∠BA'D=90°，
∵四邊形ADA'E是菱形，∴點A'必在DE垂直平分線上，即直線AM上，
∵AN=A'N=y=，AM=4，
∴A'M=|4-x|，
在Rt△BA'M中，A'B²=BM²+A'M²=3²+（4-x）²，
在Rt△BA'D中，A'B²=BD²+A'D²=（5-x）²-x²，
∴（5-x）²-x²=3²+（4-x）²，
解得 x=，x=0（舍去）．             
第三種情況：∠A'BD=90°，
∵∠A'BD=90°，∠AMB=90°，
∴△BA'M∽△ABM，
即=，∴BA'=，
在Rt△D BA'中，DB²+A'B²=A'D²，
（5-x）²+=x²，
解得：x=．        
綜上可知當x=、x=時，△A'DB是直角三角形．
點評：本題考查圖形的翻折變換，解題過程中應注意折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，根據軸對稱的性質，折疊前后圖形的形狀和大小不變，如本題中折疊前后角相等．