Question

（2013•工業園區二模）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，以AB為直徑的⊙O交BC于點D，交AC于點E，連結DE，過點B作BP平行于DE，交⊙O于點P，連結CP、OP，OP交AC于點G．
（1）BD=DC嗎？說明理由；
（2）求∠BOP的度數；
（3）求證：CP是⊙O的切線；
（4）請直接寫出

AB•BC

PC2

的值是

6

+

2

．

Answer 1

分析：（1）連接AD，由圓周角定理可知∠ADB=90°，再根據等腰三角形的性質得到BD=DC；
（2）根據等腰三角形的性質得到AD平方∠BAC，即∠BAD=∠CAD，根據圓周角定理得

BD

=

DE

，則BD=DE，所以BD=DE=DC，得到∠DEC=∠DCE，在等腰△ABC中可計算出∠ABC=75°，故∠DEC=75°，再由三角形內角和定理得出∠EDC的度數，再根據BP∥DE可知∠PBC=∠EDC=30°，進而得出∠ABP的度數，然后利用OB=OP，可知∠OBP=∠OPB，由三角形內角和定理即可得出∠BOP=90°；
（3）設OP交AC于點G，由∠BOP=90°可知∠AOG=90°，在Rt△AOG中，由∠OAG=30°可得

OG

AG

=

1

2

，由于

OP

AC

=

OP

AB

=

1

2

，則

OP

AC

=

OG

AG

，根據比例性質得

OG

AG

=

GP

GC

，而∠AGO=∠CGP，根據三角形相似的判定可得到△AOG∽△CPG，由相似三角形形的性質可知∠GPC=∠AOG=90°，然后根據切線的判定定理即可得到CP是⊙O的切線；
（4）作CH⊥BP于H，易△PHC為等腰直角三角形，設HC=x，則PH=x，PC=

2

x，在Rt△BHC中，根據含30度的直角三角形三邊的關系得BC=2x，BH=

3

x，則PB=（

3

+1）x，在Rt△OPB中，根據等腰直角三角形的性質得OB=

6 + 2

2

x，則AB=（

6

+

2

）x，然后計算

AB•BC

PC2

的值．

解答：解：（1）BD=DC．理由如下：連接AD，
∵AB是直徑，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴BD=DC；

（2）∵AD是等腰△ABC底邊上的中線，
∴∠BAD=∠CAD，
∴

BD

=

DE

，
∴BD=DE．
∴BD=DE=DC，
∴∠DEC=∠DCE，
△ABC中，AB=AC，∠A=30°，
∴∠DCE=∠ABC=

1

2

（180°-30°）=75°，
∴∠DEC=75°，
∴∠EDC=180°-75°-75°=30°，
∵BP∥DE，
∴∠PBC=∠EDC=30°，
∴∠ABP=∠ABC-∠PBC=75°-30°=45°，
∵OB=OP，
∴∠OBP=∠OPB=45°，
∴∠BOP=90°；

（3）設OP交AC于點G，如圖，則∠AOG=∠BOP=90°，
在Rt△AOG中，∠OAG=30°，
∴

OG

AG

=

1

2

，
又∵

OP

AC

=

OP

AB

=

1

2

，
∴

OP

AC

=

OG

AG

，
∴

OG

AG

=

GP

GC

，
又∵∠AGO=∠CGP，
∴△AOG∽△CPG，
∴∠GPC=∠AOG=90°，
∴OP⊥PC，
∴CP是⊙O的切線；

（4）作CH⊥BP于H，如圖，∵∠OPC=90°，∠OPB=45°，
∴∠HPC=45°，
設HC=x，則PH=x，PC=

2

x，
在Rt△BHC中，∠HBP=30°，
∴BC=2x，BH=

3

x，
∴PB=

3

x+x=（

3

+1）x，
在Rt△OPB中，OB=

2

2

PB=

6 + 2

2

x，
∴AB=（

6

+

2

）x，
∴

AB•BC

PC2

=

( 6 + 2 )x•2x

2x2

=

6

+

2

．
故答案為

6

+

2

．

點評：本題考查了圓的綜合題：掌握運用切線的判定定理證明圓的切線；運用圓周角定理和相似三角形的判定與性質解決圓中角度與線段的計算；同時記住等腰直角三角形的性質以及含30度的直角三角形三邊的關系．