Question

（2013•南通一模）已知△ABC和△ADE均為等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，點D為BC邊上一點．
（1）求證：△ACE≌△ABD；
（2）若AC=2

2

，CD=1，求ED的長．

Answer 1

分析：（1）利用△ABC和△ADE均為等腰直角三角形，得到兩條對應邊相等，然后得到其夾角相等即可證得兩三角形全等；
（2）解：在△ABC中求得BC=2、BD=BC-CD=4-1=3，再根據△ACE≌△ABD得到∠ACE=∠B=45°，最后得到∠ECD=∠ACE+∠ACB=90°，利用勾股定理求得ED長即可

解答：（1）證明：
∵△ABC是等腰直角三角形
∴AB=AC，∠BAC=90°
同理AB=AE，∠CAE=90°
∵∠BAC=∠CAE=90°
∴∠EAC+∠CAD=∠BAD+∠CAD=90°
∴∠EAC=∠DAB
在△ACE與△ABD中，

AE=AD ∠EAC=∠DAB AC=AB

∴△ACE≌△ABD（SAS）
（2）解：在△ABC中
BC=

AC

sinB

=

2 2

sin45°

=4
∴BD=BC-CD=4-1=3
∵△ABC是等腰直角三角形
∴∠ACB=∠B=45°
∵△ACE≌△ABD
∴∠ACE=∠B=45°，EC=DB=3
∵∠ECD=∠ACE+∠ACB=90°
∴△ECD是直角三角形
∴ED=

EC2+CD2

=

10

．

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質及勾股定理等知識，全等三角形是一種非常重要的工具，應該利用好．