Question

（2013•南通一模）已知：如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點(diǎn)，OD⊥AC于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)C作⊙O的切線(xiàn)，交OD的延長(zhǎng)線(xiàn)與點(diǎn)E，連接AE．
（1）求證：AE與⊙O相切；
（2）連接BD并延長(zhǎng)交AE于點(diǎn)F，若EC∥AB，OA=6，求AF的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）連接OC，由CE為圓O的切線(xiàn)，利用切線(xiàn)的性質(zhì)得到∠OCE=90°，再由OA=OC，OD垂直于AC，利用三線(xiàn)合一得到一對(duì)角相等，利用SAS得到三角形COE與三角形AOE全等，由全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等得到∠OAE=∠OCE=90°，利用垂直的定義得到AE與AO垂直，即可得證；
（2）設(shè)BF與OC交于點(diǎn)G，由EC與AB平行，利用兩直線(xiàn)平行同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)，及三個(gè)角為直角的四邊形為矩形得到四邊形AECO為矩形，再由OA=OC，得到四邊形AECO為正方形，可得出OG平行于AE，AE=AO=6，OD=ED，由OG與AF平行，利用平行線(xiàn)得比例得到OG=EF，再由OG與AF平行，得到比例式，得到AF=2OG=2EF，即可求出AF的長(zhǎng)．

解答：（1）證明：連接OC，
∵CE是⊙O的切線(xiàn)，
∴∠OCE=90°，
∵OA=OC，OD⊥AC，
∴∠COE=∠AOE，
∵在△COE和△AOE中，

OA=OC ∠COE=∠AOE OE=OE

，
∴△COE≌△AOE（SAS），
∴∠OAE=∠OCE=90°，
∴OA⊥AE，
∴AE與⊙O相切；

（2）解：設(shè)BF與OC相交于點(diǎn)G，
∵EC∥AB，
∴∠AEC=∠OAE=90°，
∵∠AEC=∠OAE=∠OCE=90°，
∴四邊形OAEC是矩形，
∵OA=OC，
∴矩形OAEC是正方形，
∴OG∥AE，AE=AO=6，OD=ED，
∵OG∥AE，
∴

OG

EF

=

OD

ED

=1，
∴OG=EF，
∵OG∥AE，
∴

OG

AF

=

OB

AB

=

1

2

，
∴

EF

AF

=

1

2

，
∴AF=

2

3

AE=

2

3

×6=4．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了切線(xiàn)的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，正方形的判定與性質(zhì)，熟練掌握切線(xiàn)的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．